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Ensembles image et image réciproque - Familles

Posté par
Autodidacte33 30-03-20 à 19:40

Bonjour,

Voici l'exercice:

Citation :
Soient I, E et F des ensembles et f une application de E dans F.
1- Montrer que pour toute famille (A_i)_{i\in I} de parties de E, on a:
        a) \displaystyle f\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)=\bigcup_{i\in I} f(A_i)
        b) \displaystyle f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\subset\bigcap_{i\in I} f(A_i)
2- Donner un exemple où l'inclusion précédente est stricte.
3- Montrer que pour toute famille (B_i)_{i\in I} de parties de F, on a:
        a) \displaystyle f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} B_i\right)=\bigcup_{i\in I} f^{-1}(B_i)
        b) \displaystyle f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I} B_i\right)=\bigcap_{i\in I} f^{-1}(B_i)
        c) \displaystyle f^{-1}\left(\overline{B}\right)=\overline{f^{-1}(B)}
4- Montrer que pour tout X\in\mathcal{P}(E)  et pour tout Y\in\mathcal{P}(F), on a:
        a) X\subset f^{-1}(f(X))
        b) f(f^{-1}(Y))\subset Y
        c)Donner des exemples où ces inclusions précédentes sont strictes.


J'ai réussi à faire la 1.a) donc c'est OK.
La 1.b) me pose problème, car je ne vois pas pourquoi il n'y a pas égalité, voici ma démonstration:  
1.b)
\begin{matrix}y\in f(\bigcap_{i\in I} A_i) &\iff&  \exists x\in \bigcap_{i\in I} A_i/ f(x)=y \\ \\ &\iff &\forall i\in I, \exists x\in A_i / f(x)=y \\ \\ &\iff& \forall i \in I : y\in f(A_i)\\ \\ &\iff& y\in \bigcap_{i\in I} f(A_i)\end{matrix}

Donc :  \boxed{\displaystyle f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)=\bigcap_{i\in I} f(A_i)}


Ce n'est pas pour rien qu'il ne demandent que l'inclusion, donc dans ma démonstration il y a au moins une des équivalences qui est fausse, mais laquelle?

Merci d'avance

Posté par
XZ19re : Ensembles image et image réciproque - Familles 30-03-20 à 19:45

Bonjour
Je me suis arrêté uniquement à la première faute.  1 b)  l'écriture avec les quantificateurs est inversée donc ça change le sens des choses.  

Posté par
lionel52re : Ensembles image et image réciproque - Familles 30-03-20 à 19:51

Et un contre exemple simple

f(x)=2020 pour tout x.
A1 = [0,1]
A2 = [17,18]

f(A1)=f(A2) = {2020}
f(A1 inter A2) = f(Ensemble vide) = Ensemble vide

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles image et image réciproque - Familles 30-03-20 à 19:53

Vous voulez dire ça?

x\in \bigcap_{i\in I} A_i \iff \forall i\in I\text{ : } x\in A_i

Posté par
lionel52re : Ensembles image et image réciproque - Familles 30-03-20 à 20:44

Non ça c'est juste

Posté par
jsvdbre : Ensembles image et image réciproque - Familles 30-03-20 à 23:23

Bonjour
C'est intéressant de démonter le mécanisme pour bien le comprendre.
Considérons la suite de relation suivante avec deux ensembles A et B.

\blue y \in f(A\cap B) \Leftrightarrow (\exists x)(x\in A \textbf { et } x \in B \textbf { et } y=f(x))

Cette équivalence ne fait que traduire la définition de y \in f(A\cap B)

Considérons maintenant celle-ci :

\red (\exists x)(x\in A \textbf { et } x \in B \textbf { et } y=f(x)) \Leftrightarrow (y \in f(A) \textbf { et } y \in f(B)) (*)

Cette équivalence est fausse.
En effet, la relation de gauche entraîne clairement celle de droite. Mais celle de droite n'entraîne pas celle de gauche.
Et pour une raison simple :
y \in f(A) signifie qu'il existe un élément x_1\in A tel que y = f(x_1)
y \in f(B) signifie qu'il existe un élément x_2\in B tel que y = f(x_2).
Mais il n'y a aucune raison que x_1 = x_2 , ce qui est obligé dans la partie gauche de l'équivalence.

Donc :

\blue (\exists x)(x\in A \textbf { et } x \in B \textbf { et } y=f(x)) \boxed \Rightarrow (y \in f(A) \textbf { et } y \in f(B))

Et enfin  :

\blue (y \in f(A) \textbf { et } y \in f(B)) \Leftrightarrow y \in f(A) \cap f(B)

Et en reprenant au début, on ne peut donc qu'écrire :

\blue y \in f(A\cap B) \Rightarrow y \in f(A) \cap f(B) c'est à dire \blue f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)
_________________________________________________

(*) ne pas oublier que (\exists x)(P(x) \textbf { et } Q(x)) n'est pas équivalent à ((\exists x)P(x) \textbf { et } (\exists x)Q(x))
Dans le premier cas, il existe un objet qui vérifie simultanément P et Q tandis dans le second, il peut s'agit de deux individus différents.
La première relation entraîne la seconde sans réciproque.
Considérer également ceci :
(\exists x)(P(x) \textbf { ou } Q(x)) est équivalent à ((\exists x)P(x) \textbf { ou } (\exists x)Q(x))
(\forall x)(P(x) \textbf { et } Q(x)) est équivalent à ((\forall x)P(x) \textbf { et } (\forall x)Q(x))
(\forall x)(P(x) \textbf { ou } Q(x)) n'est pas équivalent à ((\forall x)P(x) \textbf { ou } (\forall x)Q(x)) (le sens \Leftarrow est correct ici)

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles image et image réciproque - Familles 31-03-20 à 14:20

Merci jsvdb pour l'explication, ce n'est pas évident mais en même temps très intéressant!

Alors voyons voir si j'ai bien compris:

1.b)
\begin{matrix}y\in f(\bigcap_{i\in I} A_i) &\iff&  \exists x\in \bigcap_{i\in I} A_i/ f(x)=y \\&\iff &\exists x\in E / \forall i\in I,  x\in A_i , f(x)=y \\ \\ &\red{\Longrightarrow} &\forall i\in I, \exists x\in A_i / f(x)=y \\ \\ &\iff& \forall i \in I : y\in f(A_i)\\ \\ &\iff& y\in \bigcap_{i\in I} f(A_i)\end{matrix}

Donc :  \boxed{\displaystyle f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\subset\bigcap_{i\in I} f(A_i)}

C'est correcte?

Posté par
jsvdbre : Ensembles image et image réciproque - Familles 31-03-20 à 15:55

Tout-à-fait; l'implication que tu as écrite en rouge ne peut absolument pas être renversée en général.
Sauras-tu voir ce qu'il se passe si f est injective ?

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles image et image réciproque - Familles 01-04-20 à 16:45

Une très bonne question!

Alors, soit \displaystyle y \in \bigcap_{i\in I} f(A_i) \text{ et } f \text{ injective}

\begin{matrix} \displaystyle y \in \bigcap_{i\in I} f(A_i) &\Longrightarrow& \forall i\in I \text{ , }y\in f(A_i) \\ &\Longrightarrow& \forall i\in I \text{ , } \exists x_i\in A_i \text{ ; } f(x_i)=y \text{ \red{(I)} }\end{matrix}

On a donc, pour tout i,j de I, il existe x_i et  x_j respectivement dans A_i , A_j tels que : f(x_i)=f(x_j)=y
Et puisque f est une injection, alors: \forall i,j\in I: x_i=x_j

Donc :

\begin{matrix} \displaystyle \text{ \red{(I)} } &\Longrightarrow& \exists x / \forall i\in I \text{ , }x\in A_i \text{ et } f(x)=y \\ &\Longrightarrow&  \exists x_i\in \bigcap_{i\in I} A_i \text{ ; } f(x)=y \end{matrix}

Ce qui donne:  y\in \displaystyle f(\bigcap_{i\in I} A_i)

\displaystyle \bigcap_{i\in I} f(A_i)\subset f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)

Conclusion

\boxed{\displaystyle f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\subset\bigcap_{i\in I} f(A_i) \text{ avec égalité si } f \text{ est injective}}

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles image et image réciproque - Familles 02-04-20 à 01:42

Un petit
Merci

Posté par
jsvdbre : Ensembles image et image réciproque - Familles 03-04-20 à 16:13

On peut faire simple :

si y \in f(A) \cap f(B) alors il existe x_A \in A et x_B \in B tel que f(x_A)=f(x_B)=y et donc par injectivité, x_A = x_B et donc y \in f(A\cap B)

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles image et image réciproque - Familles 04-04-20 à 23:55

Oui, exactement
C'est la même chose non? c'est juste que moi j'ai démontrer la proposition dans le cas où il s'agit d'une famille de parties de E...
Cdt


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