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Ensembles: Partition de l'ensemble N

Posté par
DNAidit
12-09-21 à 19:06

Bonjour,

J'ai du mal à déborder la question suivante : pour tout i\in\{0,1,2\}, posons A_i = \{3j+1 | j\in\mathbb{N}\}, démontrer que A_0, A_1, A_2 est une partition de \mathbb{N}.

Par instinct, j'ai essayé de le démontrer par la définition : A_0\cup A_1\cup A_2=\mathbb{N} et A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset. Premièrement, A_0\cup A_1\cup A_2\subset\mathbb{N} est trivial donc il faut juste démontrer A_0\cup A_1\cup A_2\supset\mathbb{N}. J'ai eu l'idée de distinguer les entiers pairs et impairs et prouver que tous les deux sont dans A_0\cup A_1\cup A_2 mais je ne pense pas que c'est très rigoureux. Ensuite pour prouver que A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset, je n'ai aucune idée.

J'espère que j'aurai des conseils et des astuces pour résoudre le problème.

Merci

Posté par
WilliamM007
re : Ensembles: Partition de l'ensemble N 12-09-21 à 19:29

Bonjour.

La question est un peu bizarre car A_0=A_1=A_2. Ce serait pas plutôt A_i=\{3j+i\mid j\in\N\} ?

D'abord, la condition A_0\cap A_1\cap A_2=\emptyset est insuffisante. Il faut A_0\cap A_1=A_1\cap A_2=A_2\cap A_0=\emptyset, ce qui n'est pas pareil.

Enfin, pour t'aider, quel peut être le reste de la division euclidienne d'un nombre par 3 ? Ou dit autrement, à nombre peut être congru à combien modulo 3 ?



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