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Niveau autre
entier naturel divisible par aucun des 6 nombres premiers
Posté par peterzemoon
bonjour,
je suis dans mes révisions et je ne trouve pas la solution de ce problème. Si vous pouviez m'aider?
1) Un entier naturel n
150 n'est divisible par aucun de 6 premiers nombres premiers. Est-ce un nombre premier ?
J'avoue que je n'ai même pas un début de raisonement. Peut être faut-il utiliser le théorème de gauss qui dit qu'un entier est divisible par un produit ab ssi il est divisible par a et par b et si pgcd(a;b)=1
2) Déterminer les entiers naturels a et b ayant respectivement 21 et 10 diviseurs tels que pgcd(a;b)=18?
J'ai commencé par dire que a=18q et b=18q' ssi pgcd(q;q')=1.Après je ne suis pas sur.
21diviseur: 21=7*3, donc le nombre peut etre 26*32.Donc a=18*(26*32)= 35*27.De plus 21=21*1, donc le nombre est 220*1*18
On ferait de meme pour 10. Est ce juste ?
Merci de votre aide 
Bonjour
1) Les six premiers nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13. Le plus petit nombre non premier qui n'est divisible par aucun d'eux est 172 qui est supérieur à 150. C'est donc vrai (et plutôt étonnant) qu'un entier inférieur à 150 non divisible par ces premiers est premier!
2) Je ne suis pas sûre de bien comprendre ton énoncé. Est-ce que l'on demande que a admette 21 pour diviseur (ce que tu as fait) ou que a admette 21 diviseurs (ce que j'airais tendance à penser)?
en fait a doit admettre 21 diviseurs et b 10 diviseurs. POurrait tu m'expliquer ton raisonnement pour le 1) ?
merci
Que puis-je dire de plus? Un nombre non premier se décompose en facteurs premiers, et si j'élimine 2,3,5,7,11 et 13, le plus petit possible est 17. S'il est non premier il a au moins deux facteurs, et le plus petit est donc 172, qui est trop grand!
Pour le 2ème il faut compter... 18 a déjà 6 diviseurs: (1,2,3,6,9,18) qui bien sûr divisent a et b. L'introduction d'un nouveau nombre premier dans b, ferait tout de suite apparaitre 6 diviseurs de plus, donc c'est exclu. Il faut voir ce qui se passe si on prend b=2
18 ou 318... Il y aura plus de choix sur a...
Pour la 1) il y a un piège (ou une erreur d'énoncé) : en effet 1 est un naturel < 150 divisible par aucun nombre premier tout court et n'esdt pas premier !
En effet, pour la première il faut traité le cas trivial de 1, sinon une autre solution est : donc
, comme n n'est divisible pas aucun premiers inférieurs à
, n est premier.
Pour la deuxième question est-ce "repectivement 21 et 10 diviseurs" ou "repectivement 21 et 10 [b]comme[\b] diviseurs" ?
Si l'énoncé donné est juste alors on note la suite donné par
et
=(le nombre premier venant après
).
Alors on prend
et