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Niveau Maths sup
Entiers premiers entre eux
Posté par 
Ramanujan
RamanujanBonjour,
Définition :
Les entiers relatifs et
sont premiers entre eux si le seul diviseur commun à
et
est
c'est-à-dire
et
.
Pourquoi on ajoute alors que
?
Par ailleurs, je n'arrive pas à démontrer la remarque suivante :
Il est immédiat que si 2 entiers et
sont premiers entre eux, alors tout diviseur de
est premier avec tout diviseur de
.
J'ai écris soit et
des diviseurs respectifs de
et
.
On a alors et
Après je bloque.
bonjour
déjà si on travaille dans 
des nombres premiers entre eux ont 2 diviseurs communs : 1 et -1
ensuite la remarque est assez évidente !
imagine qu'un nombre différent de 1 et -1 divise à la fois un diviseur de a et un diviseur de b... il divise alors a fortiori a et b ... ce qui pose un problème puisqu'on a supposé a et b premiers entre eux.
Ecoute pour ta premiere question on s'en fout 99% du temps en arithmétique des diviseurs de 0 ça n'a quasi intérêt
Pour ton 2e point considere le pgcd de d et d'
Bonjour,
Le pgcd(0,0) est une convention : 
Si on s'en tenait à la définition, il faudrait plutôt dire que c'est l'infini.
Si c et d sont des diviseurs de a et b, un diviseur commun de c et d est aussi un diviseur commun de a et b. Si a et b sont premiers entre eux, ce ne peut être que 1.
@Matheux
C'est la définition de mon livre. Par contre dans Z le pgcd est défini avec les valeurs absolues.
Sinon je ne vois pas comment montrer que : pgcd(d, d') =pgcd(a, b)
matheuxmatou @ 26-01-2020 à 10:35
bonjour
déjà si on travaille dans des nombres premiers entre eux ont 2 diviseurs communs : 1 et -1
ensuite la remarque est assez évidente !
imagine qu'un nombre différent de 1 et -1 divise à la fois un diviseur de a et un diviseur de b... il divise alors a fortiori a et b ... ce qui pose un problème puisqu'on a supposé a et b premiers entre eux.
bonjour
déjà si on travaille dans
des nombres premiers entre eux ont 2 diviseurs communs : 1 et -1
ensuite la remarque est assez évidente !
imagine qu'un nombre différent de 1 et -1 divise à la fois un diviseur de a et un diviseur de b... il divise alors a fortiori a et b ... ce qui pose un problème puisqu'on a supposé a et b premiers entre eux.
Je ne comprends pas la logique avec le 1 et-1.
Par l'absurde il faudrait prendre a et b premiers entre eux avec l'existence d'un diviseur de a qui n'est pas premier avec un autre diviseur d' de b.
faut faire un effort là !
-1 divise tout entier dans
quant à la seconde remarque, lis et relis mon explication... pas besoin de notations ! le français explique suffisamment les choses
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a + b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d
tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et a+0 = 0
donc pgcd(a;0)=0
voilà la définition mathématique du pgcd... un peu compliquée pour le niveau pré-bac, donc on le simplifie en éliminant le cas 0 et dans ce cas on trouve bien un "plus grand diviseur" au sens de la relation 
Mais en fait le sens "plus grand" est à considérer pour la relation d'ordre "divise"
0 est le plus grand élément de pour la relation divise puisque tout entier divise 0
de même que 1 est un plus petit élément puisqu'il divise tout le monde
éventuellement voici un poly assez complet sur le sujet :
voilà voilà 
Bonjour matheuxmatou, tu as sûrement fait une petite faute d'étourderie en confondant a et 0 dans ton message 
je corrige juste le passage pour pas que Ramanujan s'embrouille
matheuxmatou @ 26-01-2020 à 12:05
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a + b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et 0+0 = 0
donc pgcd(0;0)=0
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a
+ b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d
tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et 0
+0 = 0
donc pgcd(0;0)=0
Le français explique tout pour vous, moi j'ai besoin de revenir aux notations et à la logique.
En plus vous dites que la définition de mon livre est fausse.
Il faut montrer :
Si 2 entiers a et b sont premiers entre eux, alors tout diviseur de a est premier avec tout diviseur de b.
C'est donc une implication logique. Je ne comprends pas pourquoi vous parlez de 1 et -1.
Soit a et b premiers entre eux. Et supposons l'existence d'un diviseur de a (d)qui n'est pas premier avec un diviseur de b (d'). Comme et
ne sont pas premiers entre eux, alors
Alors avec
Mais puis
Donc est un diviseur commun à
et
.
Je bloque pour montrer que
matheuxmatou @ 26-01-2020 à 12:05
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a + b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et a+0 = 0
donc pgcd(a;0)=0
voilà la définition mathématique du pgcd... un peu compliquée pour le niveau pré-bac, donc on le simplifie en éliminant le cas 0 et dans ce cas on trouve bien un "plus grand diviseur" au sens de la relation
Mais en fait le sens "plus grand" est à considérer pour la relation d'ordre "divise"
0 est le plus grand élément de pour la relation divise puisque tout entier divise 0
de même que 1 est un plus petit élément puisqu'il divise tout le monde
éventuellement voici un poly assez complet sur le sujet :
voilà voilà
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a
+ b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d
tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et a
+0 = 0
donc pgcd(a;0)=0
voilà la définition mathématique du pgcd... un peu compliquée pour le niveau pré-bac, donc on le simplifie en éliminant le cas 0 et dans ce cas on trouve bien un "plus grand diviseur" au sens de la relation
Mais en fait le sens "plus grand" est à considérer pour la relation d'ordre "divise"
0 est le plus grand élément de
pour la relation divise puisque tout entier divise 0
de même que 1 est un plus petit élément puisqu'il divise tout le monde
éventuellement voici un poly assez complet sur le sujet :
voilà voilà
Merci mais j'ai déjà assez avec mon livre de MPSI de 1600 pages.
Dans mon livre l'auteur démontre de 2 façons différente que PGCD(0,0)=0
Sinon Ramanujan tu peux voir des exemples particuliers.
Par exemple pour a = 2 et b = 4, clairement ils ne sont pas premiers entre eux (le pgcd positif est égal à 2) parce que pour un diviseur de a qui est 2, et bien 2 divise 4 donc il existe un diviseur de a qui n'est pas premier avec un diviseur de b (2 et 2). Essaye de comprendre la logique avec ce type d'exemple.
Comme l'a dit matheuxmatou, tu peux très bien l'expliquer simplement avec du français.
Les idéaux ne sont pas au programme de MPSI. Dans mon livre l'auteur le démontre en utilisant la relation de divisibilité et son plus grand élément, et aussi le fait que :
Si alors
On peut donc poser par convention ce qui permet d'avoir
Mais on s'éloigne du sujet.
Kernelpanic @ 26-01-2020 à 12:18
Sinon Ramanujan tu peux voir des exemples particuliers.
Par exemple pour a = 2 et b = 4, clairement ils ne sont pas premiers entre eux (le pgcd positif est égal à 2) parce que pour un diviseur de a qui est 2, et bien 2 divise 4 donc il existe un diviseur de a qui n'est pas premier avec un diviseur de b (2 et 2). Essaye de comprendre la logique avec ce type d'exemple.
Comme l'a dit matheuxmatou, tu peux très bien l'expliquer simplement avec du français.
Sinon Ramanujan tu peux voir des exemples particuliers.
Par exemple pour a = 2 et b = 4, clairement ils ne sont pas premiers entre eux (le pgcd positif est égal à 2) parce que pour un diviseur de a qui est 2, et bien 2 divise 4 donc il existe un diviseur de a qui n'est pas premier avec un diviseur de b (2 et 2). Essaye de comprendre la logique avec ce type d'exemple.
Comme l'a dit matheuxmatou, tu peux très bien l'expliquer simplement avec du français.
Oui sur des exemples c'est évident mais je n'arrive pas la démonstration dans le cas général.
J'ai essayé avec le PGCD je bloque, l'absurde je bloque aussi.
La démonstration de Matheux je ne comprends pas la logique. Il rajoute une condition qui n'est pas donnée dans l'implication à démontrer.
Bonjour
a et b sont premiers entre eux -----Bezout
au+bv=1 et.... j'arrête là c'est trop facile à finir donc je te le laisse en cadeau..
Ok merci.
Soit un diviseur de
et
un diviseur de
.
et
Ce qui donne
Mais peut-on faire sans Bezout ? Car l'identité de Bezout est abordé juste après la remarque dans mon livre.
Ramanujan @ 26-01-2020 à 12:13
Le français explique tout pour vous, moi j'ai besoin de revenir aux notations et à la logique.
alors faut arrêter de faire de math ... car pour manipuler des notations il faut qu'elles aient du sens ...
Le français explique tout pour vous, moi j'ai besoin de revenir aux notations et à la logique.
si on travaille dans Z avec des valeurs absolues alors autant travailler dans N et ne pas s'emmerder avec des valeurs absolues ...
la généralisation à Z n'en sera que plus évidente et naturelle ...
Bon, bah on va enfoncer des portes ouvertes alors.
Ramanujan @ 26-01-2020 à 10:19
Il est immédiat que si 2 entiers
et 
sont premiers entre eux, alors tout diviseur de est premier avec tout diviseur de .
Il est immédiat que si 2 entiers
Autrement dit,
tu démontres la contraposée, qui est juste immédiat.
Ramanujan @ 26-01-2020 à 12:55
Ok merci.
 \in \Z^2 \ au+bv=1)
Soit
un diviseur de et 
un diviseur de .
et 
Ce qui donne + d'(k'v) = 1)
Mais peut-on faire sans Bezout ? Car l'identité de Bezout est abordé juste après la remarque dans mon livre.
Ok merci.
Soit
Ce qui donne
Mais peut-on faire sans Bezout ? Car l'identité de Bezout est abordé juste après la remarque dans mon livre.
Mais bien sûr qu'on peut faire sans Bezout. Mais l'argument Bezout est juste après dans mon livre, ça me fait un peu rire.
Kernelpanic oui ! merci d'avoir corrigé
Kernelpanic @ 26-01-2020 à 12:08
Bonjour matheuxmatou, tu as sûrement fait une petite faute d'étourderie en confondant a et 0 dans ton message
je corrige juste le passage pour pas que Ramanujan s'embrouille
Bonjour matheuxmatou, tu as sûrement fait une petite faute d'étourderie en confondant a et 0 dans ton message
je corrige juste le passage pour pas que Ramanujan s'embrouille
matheuxmatou @ 26-01-2020 à 12:05
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a + b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et 0+0 = 0
donc pgcd(0;0)=0
quant à la définition / construction mathématique du pgcd, celui avec 0 n'est absolument pas une convention !
pour a et b entiers relatif, l'idéal a
+ b, engendré par la réunion de a et b, est un idéal principal de (anneau principal)
donc il existe un unique d
tel que a+b = d
ce nombre d est appelé pgcd de a et b
et 0
+0 = 0
donc pgcd(0;0)=0
luzak @ 26-01-2020 à 13:06
Soit
.
Si
ont un diviseur commun 
alors divise et divise .
Il en résulte que
.
Soit
Si
Il en résulte que
Merci c'est clair net et précis