1) tout d'abord, tu considères l'équation (E0) :
y' + y = 1

Je ne sais pas si vous avez fait en cours la solution générale de cette équation, mais bon on peut la retrouver.

Une solution particulière de cette équation est la solution triviale y0= 1
En effet y0'+y0 = 1

maintenant, pour toute fonction y solution de (E0) on peut écrire:

y' + y = 1
En soustrayant membre à membre, cela nous donne:

y' + y - y0' - y0 = 1 - 1
donc (y-y0)' + (y-y0) = 0 :
en posant Y = y0 - y, il vient que Y' + Y = 0, donc Y' = -Y
on connait bien la solution de cette équation - c'est le cours - est la solution est Y = C * exp(-x) où C est une constante.

en re-remplacant, y0-y = C * exp (-x), donc y = C * exp(-x) + y0
y = C*exp(-x) + 1

bon ca c'est pour la question 1, tu dois surement le savoir déja.

2)
si f est solution de (E)

donc f'+(1+ tan x) f = cos x

f(x)=g(x) cos x d'où f'(x) = g'(x) cos(x) - g(x)sin(x)

g'(x) cos(x) - g(x)sin(x) + (1+tanx)g(x) * cos x  = cos(x)

g'(x) cos(x) - g(x)sin(x) + (cos(x)+sin(x))g(x)   = cos(x)
cos(x) ( g'(x) + g(x) ) = cos(x)

cos(x) ( g'(x) + g(x) -1) =0  pour tout x => g'(x) + g(x) -1=0

C'est juste ? sinon pour la 3ème question... help

pour la question 2, tu sais que f et g sont dérivables sur ]-pi/2 ; pi/2[

et f(x) = g(x)*cos (x)

n'oublie pas que tu cherches à résoudre ton équa diff (E) pour des fonctions définies sur ]-pi/2 ; pi/2[ , c'est important.

Bon suivons l'énoncé:

si f est solution de (E0) alors on peut écrire:

f' + (1+tan(x) ) * f = cos (x)

en remplacant f par g(x)*cos (x), alors:

(g(x)*cos(x) )' + (1+tan(x) ) * g(x)*cos (x) = cos (x), on ne fait que remplacer.

Développons:

g'*cos(x) - sin(x)*g(x) + g(x)*cos(x) + tan(x)*g(x)*cos(x) = cos (x).

Or, comme tu considère l'équation E pour les fonctions définies sur ]-pi/2 ; pi/2[ , tu peux diviser par cos(x) des deux côtés, puisque cos(x) est non nul, d'où:

g'(x) - sin(x)/cos(x) * g(x) + g(x) + tan(x)*g(x) = 1
or sin(x)/cos (x) = tan (x):
en éliminant les tan(x)*g(x) :

g'(x) + g(x) = 1 , donc g est solution de (E0).

pour prouver ta double implication, dans l'autre sens, c'est la même chose:
tu considères g solution de E0, en considèrant g(x) = f(x)/cos(x), et tu en arrives à trouver que f est solution de E.

excuse j'avais pas vu que tu m'avais répondu:

bon ben la troisième question est la plus simple:

tu sais que si f(x) , fonction définie et dérivable sur ]-pi/2 ; pi/2[ est solution de (E), cela implique nécessairement que la fonction g(x) = f(x)/cos (x) est solution de (E0).

or tu viens de montrer à la 1) que toutes les solutions y de (E0)sont de la forme y = C*exp(-x) + 1

Donc on a aussi g(x) = C*exp(-x) + 1

Donc f(x) = g(x)/cos (x) = [C*exp(-x)+ 1 ] / cos(x)  (car cos(x) est non nul sur l'intervalle considéré)

Tu tiens donc ta solution générale de (E) qui est f = [C*exp(-x)+ 1 ] / cos(x)

tu cherches la solution qui s'annule en 0:

il faut donc vérifier f(0) = 0, donc
f(0) = [ C*exp(-0)+ 1 ] / cos(0) = (C*1 + 1) /1 = C + 1 = 0

Donc C = -1, et f(x) = [-exp(-x) + 1] / cos(x)