Niveau terminale

équa diff et raisonnement par récurrence

Posté par tidus10 (invité) 07-06-05 à 18:12

SAlut à tous, voilà je passe mon bac dans 1 semaine mais je n'ai toujours pas compris les équa diff et le raisonnement par recurrence.
D'une part, je ne sais même pas à quoi ça sert.
J'aurais vraiment besoin de votre aide pour comprendre ça le plus rapidement possible, car l'échéance arrive...vite.
J'attend vos réponses les plus claires et compréhensibles possible avec un exemple ou deux pour bien comprendre ce qu'il y a à comprendre.
A+

Posté par re : équa diff et raisonnement par récurrence 07-06-05 à 18:34

Bonjour,

En ce qui concerne le raisonnement par récurrence voici quelque chose qui pourrait t'aider :

Le raisonnement par récurrence est utilisé dans l'ensemble $\mathbb{N}$ en 1ère.

Il s'agit de démontrer un résultat connu de n ( n étant un entier naturel quelconque) à l'avance.

Cette démonstration s'effectue en deux étapes :

   1. Montrer que le résultat est vrai pour un entier naturel fixé ( souvent 0 ou 1)
   2. Montrer que si le résultat est vrai pour un entier naturel quelconque (qu'on appellera n) alors il est vrai pour l'entier naturel suivant (dans le cas présent n + 1)

Une autre manière de dire cela est de dire que on prouve que la propriété est vrai à un rang de n et après on prouve que si elle est vrai à un rang alors est elle vrai au suivant. Ce qui revient a prouver la propriété.

Exemple d'application :

Enoncé : La somme des entiers naturel de 1 à n est égal à $\frac{n(n+1)}{2}$

Résolution :

On appelle la propriété P(n) : 1 +2 + … + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

Remarque : La somme  1 +2 + … + n peut s'écrire : $\bigsum_{i=1}^n i$

Montrons que P(1) est vrai

$\frac{1(1+1)}{2}=1$   donc P(1) est vrai.

Montrons que,  pour tout n appartenant à N : $P(n) \Longrightarrow P(n+1)$

Pour cela formulons l'hypothèse de récurrence il s'agit à chaque fois de P(n) et formulons la conclusion de récurrence il s'agit de P(n+1).

Hypothèse de récurrence : 1 +2 + … + n = $\frac{n(n+1)}{2}$
Conclusion de récurrence : 1 + 2 +…+n + (n+1) = $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$\bigsum_{i=1}^{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$ (par hypothèse de récurrence, celle ci est obligatoirement utilisé dans le raisonnement par récurrence)

$\bigsum_{i=1}^{n+1} = (n+1)(\frac{n}{2} + 1)$
$\bigsum_{i=1}^{n+1} = (n+1)(\frac{n+2}{2})$

$\bigsum_{i=1}^{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Nous avons donc montré que :

$\rm\{{P(1) est vrai\\Pour tout n\in\mathbb{N} : P(n) \Longrightarrow P(n+1)$
Donc pour tout n appartenant à $\mathbb{N}$ : 1 +2 + … + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

La résolution par récurrence s'arête ici.

Appliquons ce raisonnement aux suites :

Soit une suite (Un) avec $n\in\mathbb{N}$ défini par :

$U_0 = 7$

$U_{n+1} = 2U_n + 5$

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$7\le U_n$

Démontrons cela par récurrence :

Soit P(n) la propriété suivante : 7 est inférieur ou égal à Un

Montrons que P(0) est vrai

$U_0 = 7 \Longrightarrow 7 \le U_0$

Montrons que pour, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $P(n) \Longrightarrow P(n+1)$ :

Hypothèse de récurrence : $7 \le U_n$

Conclusion de récurrence : $7 \le U_{n+1}$

On a : $U_{n+1} = 2U_n + 5$ et $7 \le U_n$

Donc $19\le U_{n+1}$

Donc   $7 \le U_{n+1}$

Nous avons montré que :
$\rm\{{P(0) est vrai\\Pour tout n\in\mathbb{N} : P(n) \Longrightarrow P(n+1)$

Donc   $7 \le U_{n+1}$

A plus

Posté par tidus10 (invité)re : équa diff et raisonnement par récurrence 07-06-05 à 18:44

OK je te remercie, c'est un peu plus clair.
Tu sais ou je peux trouver des exo avec de la réccurence, genre proba+ récurrence, suite+récurrence, fonction + réccurence.....
J'attend tes explications pour les équa diff.

Mais concrètement ça sert à quoi l'hypothèse de récurrence ???

Posté par re : équa diff et raisonnement par récurrence 07-06-05 à 18:57

Bonjour,

Tu peux utiliser la fonction recherche du forum pour trouver des exercices.Voici ce qui concerne la récurrence : [lien]

L'hypothèse de récurrence te sert qu'en tu dois prouver que pour tout n appartenant à $\mathbb{N}$ : P(n) => P(n+1)

A plus

Posté par re : équa diff et raisonnement par récurrence 07-06-05 à 18:59

Bonjour,

En ce qui concernant les équations différentielles, tu peux aller voir ici pour les cours : Méthode sur les équations différentielles du premier ordre (avec second membre) et là : les équations différentielles : cours

Pour les exercices, fait une recherche sur le forum tu trouveras sûrement ton bonheur

A plus

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