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Equation

Posté par Profil Ramanujan 09-04-19 à 22:50

Bonsoir,

Soit l'équation : \arcsin(\dfrac{2x}{1+x^2}) = 2 \arctan(x)

Je trouve que l'ensemble de définition est \R

Mais je ne vois pas comment résoudre l'équation.

Posté par
lafol Moderateurre : Equation 09-04-19 à 23:03

Bonjour
c'est pas comme si on avait déjà évoqué ce à quoi DOIT te faire penser "2x/(1+x²)" !

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 09-04-19 à 23:24

\sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2} avec t = \tan(\dfrac{x}{2})

Mais je ne vois pas quel changement de variable poser.

Posté par
nakhal69re : Equation 09-04-19 à 23:58

Appliquons tan aux deux membres:


tan(arcsin(\frac{2x}{1+x^2}))=tan(2arctan(x))

pour calculer le terme de gauche remarquez que:


tan = \frac{sin}{cos}

pour calculer le terme de droite utiliser:

tan(2x) =?

On continue .....

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 10-04-19 à 00:14

\tan(2x) = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)}

Donc : \tan(2x) = \dfrac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)}

Ce qui donne : \dfrac{2x}{1+x^2} = \dfrac{2x}{1-x^2}  \Leftrightarrow 1+x^2 = 1-x^2  \Leftrightarrow x^2 = 1

Je ne comprends pas car dans mon livre la solution donnée est le segment [-1,1]

Posté par
nakhal69re : Equation 10-04-19 à 00:46

Posons y= \frac{2x}{1+x^2}
Nous avons:
tan(arcsin(y))=tan(2artan(x))

\frac{sin(arcsin(y))}{cos(arcsin(y)}=\frac{2x}{1-x^2}

\frac{2y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{2x}{1-x^2}

Maintenant c'est clair

Posté par
nakhal69re : Equation 10-04-19 à 00:52

La dernière egalité:
\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{2x}{1-x^2}

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 10-04-19 à 00:59

Je vois merci mais où est l'erreur dans mon raisonnement et mon calcul ? Pourquoi je ne trouve pas la même chose que vous ?

Posté par
matheuxmatoure : Equation 10-04-19 à 01:13

nakhal69 @ 09-04-2019 à 23:58

Appliquons tan aux deux membres:


tan(arcsin(\frac{2x}{1+x^2}))=tan(2arctan(x))

pour calculer le terme de gauche remarquez que:


tan = \frac{sin}{cos}

pour calculer le terme de droite utiliser:

tan(2x) =?

On continue .....


même quand x=1 ou -1 ?

ce serait bien d'être plus rigoureux et de prendre quelques précautions !

et toujours pas de niveau indiqué dans ton profil nakhal69 ... c'est secret ?

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 10-04-19 à 01:14

Ah en fait j'ai compris merci !  

Sinon, par condition nécessaire et suffisante sans utiliser la formule arcsin(cos) :

Comme \forall x \in \R : - \dfrac{\pi}{2} \leq \arcsin(\dfrac{2x}{1+x^2}) \leq  \dfrac{\pi}{2}

Alors on a : -  \dfrac{\pi}{2} \leq 2 \arctan(x) \leq  \dfrac{\pi}{2}

Soit : \dfrac{\pi}{4} \leq \arctan(x) \leq  \dfrac{\pi}{4}

Enfin : x \in [-1,1]

Réciproquement, soit x \in [-1,1]. Posons : x = \tan(t) soit t = \arctan(x) avec t \in [- \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}]

Et : \arcsin(\dfrac{2x}{1+x^2}) = \arcsin(\dfrac{2 \tan(t)}{1+\tan^2(t)})=\arcsin(\sin(2t)) =2t=2 \arctan(x) car 2t \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

Donc S=[-1,1]

Posté par
matheuxmatoure : Equation 10-04-19 à 01:25

Ramanujan

vos tambouilles ne fonctionnent pas par équivalence !

ici le plus simple est de travailler sur les deux fonctions et leurs dérivées... quand elle existent ! j'appelle f(x) celle de gauche et g(x) celle de droite.

f est dérivable sur -{-1;1} et g sur

on a de façon immédiate f(-1)=g(-1) et f(1)=g(1)

sur -{-1;1}  on a :

f'(x) = \dfrac{2}{1+x^2} \times signe(1-x^2)

g'(x) = \dfrac{2}{1+x^2}

donc déjà tes fonctions ne peuvent être égales qu'entre -1 et 1

et sur ]-1 ; 1[ : f(x)=g(x) + constante

avec f(0)=g(0) on a K=0

conclusion : l'équation a pour solution[-1;1]

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 10-04-19 à 01:29

Matheux.

Je n'ai pas travaillé par équivalence mais par implications ! Cf le "réciproquement".  J'ai commencé par la condition nécessaire. Puis la condition suffisante.

Votre raisonnement est OK par contre l'intervalle ouvert ]-1,1[ devient fermé par continuité ?

Posté par
matheuxmatoure : Equation 10-04-19 à 01:34

il devient fermé parce que , quand on lit ma réponse attentivement, j'ai examiné les cas -1 et à part au début !

et quand j'ai tapé ma réponse il n'y avait pas encore la tienne de 01:14 que j'ai vu ensuite

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 10-04-19 à 01:54

Ok merci.

Posté par
nakhal69re : Equation 10-04-19 à 17:17

Ton problème c'est avec " ce qui donne"

arctan(x)+arctan(y)=arctan(\frac{x+y}{1-xy})

En faisant x=y:

2arctan(x)=arctan(\frac{2x}{1-x^2})

Ton equation devient alors:

arcsin(\frac{2x}{1+x^2})=arctan(\frac{2x}{1-x^2})

Ceci implique en appliquant tan de part et d'autres:

tan(arcsin(\frac{2x}{1+x^2}))=\frac{2x}{1-x^2}


Tu complètes avec l'égalité de mon post d'hier.

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 10:02

ce qu'il y a de bien avec nakhal69 c'est qu'il ne tiens absolument pas compte des échanges précédents et continue sans se préoccuper des existences de ce qu'il écrit

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 11-04-19 à 11:16

Pour appliquer les foncions réciproques, il faut regarder les ensembles de définition à chaque ligne.

Posté par
lafol Moderateurre : Equation 11-04-19 à 14:23

C'est surtout que pour diviser il faut s'assurer qu'on ne divise pas par zéro....
C'est quand même dingue le nombre de gens qui prétendent étudier dans le supérieur et n'ont pas les réflexes normalement attendus d'un bon élève de collège !

Posté par
etniopalre : Equation 11-04-19 à 15:05

Il y a plusieurs mfaçons de faire .  Mais moi , celle que je préfère ....
        c'est  la suivante .

Soit   u :       définie par u(x) :=  2x/(1 + x²)  
Comme u() = [-1 , +1]    on peut composer Arcsin  et u  ( u d'abord !) et noter f l'application Arcsin  o u .
f est continue et dérivable en tout point x tel que  u(x)   [-1 , 1} donc sur l'ouvert V :=   \ {-1 ,  +1 }  qui est réunion des intervalles A := ]-  , -1[ , B ;= ]-1 , +1[ et C := ]1 , + [ .
On a   f '  =  (2Arctan )' donc f - 2Arctan  est constante sur chacun des intervalles A , B , C .Mais sa continuité     implique  qu'elle l'est sur   et comme  f(0) =  0 = 2Arctan(0)  on a finalement  f =  2Arctan .

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 18:00

etniopal
effectivement ! et quand on regarde bien c'est un peu ce que j'ai fait le 10 à 01:25 ... exprimé juste un peu différemment !

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 18:11

lafol
en fait on ne sait pas où se situe nakhal69 puisqu'il (ou elle) refuse de remplir son profil correctement !

Posté par
lafol Moderateurre : Equation 11-04-19 à 18:13

il prétend aider au niveau mathsup, cependant ....
si je comprends bien ce qu'a fait etniopal, pour lui l'égalité est vraie sur IR tout entier ? pas seulement sur [-1;1] ?

Posté par
lafol Moderateurre : Equation 11-04-19 à 18:13

un oubli de valeur absolue dans un truc genre racine de (bidule au carré) ?

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 18:15

oui... je n'avais regardé que la démarche et pas la conclusion qui me parait un peu "hasardeuse". La constante dont il parle ne vaut 0 que sur son intervalle B.

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 18:16

lafol
je pense comme toi qu'il a dû zapper le fait que ((1-x²)²) ne vaut pas (1-x²) dans sa dérivée de (arcsin o u)

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 11-04-19 à 18:57

Pas mal votre méthode Etnopial. Mon livre utilisait souvent cette méthode dans des exos précédents.
Première fois que je comprends un de vos post.

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 19:03

Ramanujan
si tu avais lu mes réponses tu aurais vu que cette méthode avait été proposée hier (comparaison des dérivées) ... et avec un peu plus de rigueur... la dérivée de f chez Etniopal est fausse !

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 19:09

Ramanujan @ 11-04-2019 à 18:57


Première fois que je comprends un de vos post.


c'est dommage que pour cette première fois, ce soit une démo incorrecte (ce qui n'est pas courant chez Etniopal )

Posté par
matheuxmatoure : Equation 11-04-19 à 19:14

et puis bon, bien que cela ne soit pas une démonstration, on peut quand même se faire une idée en traçant les deux courbes (avec geogebra par exemple) et voir assez clairement la zone où les deux fonctions sont égale !

Posté par Profil Ramanujanre : Equation 11-04-19 à 19:21

En effet j'ai pas fait attention aux détails du calcul. En effet, Géogebra est bien pratique pour ce genre d'exo.

Posté par
alb12re : Equation 12-04-19 à 08:40

salut,
comme indique au dessus faire les graphes permet:
1/ d'avoir les solutions
2/ de trouver une methode de resolution
sinon:
1/ wolfram donne le reponse
2/ Xcas demande l'intervention de l'utilisateur

Posté par
etniopalre : Equation 12-04-19 à 09:22

La honte !!
Même sans logiciel sophistiqué  j'aurais pu   par exemple  regarder ce  qu'il se passait vers +  pour voir qu'il y avait un os dans ce que je racontais  !

matheuxmatou est bien gentil de croire     qu'il n'est pas courant chez  moi de raconter des salades !

Posté par
matheuxmatoure : Equation 12-04-19 à 11:02


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