Bonjour
c'est pas comme si on avait déjà évoqué ce à quoi DOIT te faire penser "2x/(1+x²)" !

avec

Mais je ne vois pas quel changement de variable poser.

Appliquons tan aux deux membres:




pour calculer le terme de gauche remarquez que:




pour calculer le terme de droite utiliser:



On continue .....

Donc :

Ce qui donne :

Je ne comprends pas car dans mon livre la solution donnée est le segment

Posons
Nous avons:






Maintenant c'est clair

La dernière egalité:

Je vois merci mais où est l'erreur dans mon raisonnement et mon calcul ? Pourquoi je ne trouve pas la même chose que vous ?

Ah en fait j'ai compris merci !  

Sinon, par condition nécessaire et suffisante sans utiliser la formule arcsin(cos) :

Comme

Alors on a :

Soit :

Enfin :

Réciproquement, soit . Posons : soit avec

Et : car

Donc

Ramanujan

vos tambouilles ne fonctionnent pas par équivalence !

ici le plus simple est de travailler sur les deux fonctions et leurs dérivées... quand elle existent ! j'appelle f(x) celle de gauche et g(x) celle de droite.

f est dérivable sur -{-1;1} et g sur

on a de façon immédiate f(-1)=g(-1) et f(1)=g(1)

sur -{-1;1}  on a :





donc déjà tes fonctions ne peuvent être égales qu'entre -1 et 1

et sur ]-1 ; 1[ : f(x)=g(x) + constante

avec f(0)=g(0) on a K=0

conclusion : l'équation a pour solution[-1;1]

Matheux.

Je n'ai pas travaillé par équivalence mais par implications ! Cf le "réciproquement".  J'ai commencé par la condition nécessaire. Puis la condition suffisante.

Votre raisonnement est OK par contre l'intervalle ouvert ]-1,1[ devient fermé par continuité ?

il devient fermé parce que , quand on lit ma réponse attentivement, j'ai examiné les cas -1 et à part au début !

et quand j'ai tapé ma réponse il n'y avait pas encore la tienne de 01:14 que j'ai vu ensuite

Ok merci.

Ton problème c'est avec " ce qui donne"



En faisant x=y:



Ton equation devient alors:



Ceci implique en appliquant tan de part et d'autres:




Tu complètes avec l'égalité de mon post d'hier.

ce qu'il y a de bien avec nakhal69 c'est qu'il ne tiens absolument pas compte des échanges précédents et continue sans se préoccuper des existences de ce qu'il écrit

Pour appliquer les foncions réciproques, il faut regarder les ensembles de définition à chaque ligne.

C'est surtout que pour diviser il faut s'assurer qu'on ne divise pas par zéro....
C'est quand même dingue le nombre de gens qui prétendent étudier dans le supérieur et n'ont pas les réflexes normalement attendus d'un bon élève de collège !

Il y a plusieurs mfaçons de faire .  Mais moi , celle que je préfère ....
        c'est  la suivante .

Soit   u :       définie par u(x) :=  2x/(1 + x²)  
Comme u() = [-1 , +1]    on peut composer Arcsin  et u  ( u d'abord !) et noter f l'application Arcsin  o u .
f est continue et dérivable en tout point x tel que  u(x)   [-1 , 1} donc sur l'ouvert V :=   \ {-1 ,  +1 }  qui est réunion des intervalles A := ]-  , -1[ , B ;= ]-1 , +1[ et C := ]1 , + [ .
On a   f '  =  (2Arctan )' donc f - 2Arctan  est constante sur chacun des intervalles A , B , C .Mais sa continuité     implique  qu'elle l'est sur   et comme  f(0) =  0 = 2Arctan(0)  on a finalement  f =  2Arctan .

etniopal
effectivement ! et quand on regarde bien c'est un peu ce que j'ai fait le 10 à 01:25 ... exprimé juste un peu différemment !

lafol
en fait on ne sait pas où se situe nakhal69 puisqu'il (ou elle) refuse de remplir son profil correctement !

il prétend aider au niveau mathsup, cependant ....
si je comprends bien ce qu'a fait etniopal, pour lui l'égalité est vraie sur IR tout entier ? pas seulement sur [-1;1] ?

un oubli de valeur absolue dans un truc genre racine de (bidule au carré) ?

oui... je n'avais regardé que la démarche et pas la conclusion qui me parait un peu "hasardeuse". La constante dont il parle ne vaut 0 que sur son intervalle B.

lafol
je pense comme toi qu'il a dû zapper le fait que ((1-x²)²) ne vaut pas (1-x²) dans sa dérivée de (arcsin o u)

Pas mal votre méthode Etnopial. Mon livre utilisait souvent cette méthode dans des exos précédents.
Première fois que je comprends un de vos post.

Ramanujan
si tu avais lu mes réponses tu aurais vu que cette méthode avait été proposée hier (comparaison des dérivées) ... et avec un peu plus de rigueur... la dérivée de f chez Etniopal est fausse !

et puis bon, bien que cela ne soit pas une démonstration, on peut quand même se faire une idée en traçant les deux courbes (avec geogebra par exemple) et voir assez clairement la zone où les deux fonctions sont égale !

En effet j'ai pas fait attention aux détails du calcul. En effet, Géogebra est bien pratique pour ce genre d'exo.

salut,
comme indique au dessus faire les graphes permet:
1/ d'avoir les solutions
2/ de trouver une methode de resolution
sinon:
1/ wolfram donne le reponse
2/ Xcas demande l'intervention de l'utilisateur

La honte !!
Même sans logiciel sophistiqué  j'aurais pu   par exemple  regarder ce  qu'il se passait vers +  pour voir qu'il y avait un os dans ce que je racontais  !

matheuxmatou est bien gentil de croire     qu'il n'est pas courant chez  moi de raconter des salades !