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Niveau terminale
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équation avec valeurs abosolue

Posté par audreys (invité) 09-08-05 à 08:11

il faut que je résoude dans IR ces deux équations:

abs(x - 1) + abs(2x - 1) = 2

et abs ( abs (x - 1) - 3) _< 2

Je suis en Terminale et je n'ai jamais vu comment on résoud ce type d'équation.
merci pour vos réponses.
Audrey

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 08:15

Il faut faire "sauter" les valeurs absolues.
Pour la première, en fonction de la place de x dans ]-oo;+oo[ (il existe 3 cas), exprime l'équation sans les || (mais en rajoutant un + ou un - !)

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 08:18

Nouvel indice : pour x\ge 1, ré-écris la première équation. Tu dois pouvoir faire disparaître les ||.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 08:36

Il faut diviser chaque problème en plusieurs cas.

|x-1| + |2x-1| = 2  (1)

a)
Si x <= 1/2  (2)
|x-1| = 1-x
|2x-1| = 1-2x

(1) devient alors:
1 - x + 1 - 2x = 2
-3x = 0
x = 0, ce qui est en accord avec (2) --> cette solution convient.

b)
Si x est dans ]1/2 ; 1]  (3)
|x-1| = 1-x
|2x-1| = 2x-1

(1) devient alors:
1 - x + 2x - 1 = 2
x = 2 mais ceci est en désaccord avec (3) --> pas de solution.

c)
Si x > 1  (4)
|x-1| = x-1
|2x-1| = 2x-1

(1) devient alors:
x - 1 + 2x - 1 = 2
3x = 4
x = 4/3 ce qui est en accord avec (4) --> cette solution convient.
---
Groupement des résultats:

S={0 ; 4/3}
-----
Essaie le suivant, c'est un peu plus difficile.



Posté par audreys (invité)re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 09:05

merci pour ces explications. J'ai réussi la première équation (à l'aide d'un tableau). En effet elle était simple mais la deuxième je peux pas employé la méthode du tableau je vois pas comment on pe faire autrement.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 11:14

Une manière de faire pour le second exercice:

|(|x-1| - 3)| <= 2

a)
Si x < 1   (1)
|x-1| = 1-x
L'inéquation devient alors:
|1-x-3| <= 2
|-x-2| <= 2

a1)
si x >= -2 (c'est à dire avec (1), si x est dans [-2 ; 1[  (2))
on a |-x-2| = x + 2
L'inéquation devient alors:
x+2 <= 2
x <= 0
Combiné avec (2) ---> x dans [-2 ; 0] convient.

a2)
si x < -2  (3)
on a |-x-2| = -x - 2
L'inéquation devient alors:
-x-2 <= 2
-x <= 4
x >= -4
Combiné avec (3) ---> x dans [-4 ; -2[ convient

En combinant les cas a1 et a2, on obtient x dans [-4 ; 0] convient   (4)

b)
Si x >= 1   (5)
|x-1| = x-1
L'inéquation devient alors:
|x-1-3| <= 2
|x-4| <= 2

b1)
Si x < 4 (c'est à dire avec (5), si x est dans [1 ; 4[  (6))
|x-4| = 4-x
L'inéquation devient alors:
4-x <= 2
-x <= -2
x >= 2
Combiné avec (6) ---> x dans [2 ; 4[ convient.

b2)
Si x >= 4  (7)
|x-4| = x - 4
L'inéquation devient alors:
x-4 <= 2
x <= 6
Combiné avec (7) ---> x dans [4 ; 6] convient.

En combinant les cas b1 et b2, on obtient x dans [2 ; 6] convient   (8)
---
(4) et (8) donnent finalement:

x dans [-4 ; 0] U [2 ; 6] convient.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : équation avec valeurs abosolue 09-08-05 à 11:33

Je crois avoir le 2nd exercice en 5 lignes :
||x-1|-3| \le 2
\Leftrightarrow -2 \le |x-1|-3 \le 2
\Leftrightarrow 1 \le |x-1| \le 5
\Leftrightarrow 1 \le x-1 \le 5 ou 1 \le 1-x \le 5
\Leftrightarrow 2 \le x \le 6 ou -4 \le x \le 0

Nicolas



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