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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equation bizarre

Posté par
Donte
18-02-23 à 15:45

Bonjour / Bonsoir à ceux qui lisent ce message,

J'aimerais savoir comment résoudre :

tan(x/a) = -a/x

où a est une valeur réelles strictement positif
et où dans la mesure du possible mon x est un réel.

Je vous remercie de prendre le temps de lire ce message et suis à votre disposition pour tout complément d'information .
Passez une bonne journée - soirée.

Posté par
Pirho
re : Equation bizarre 18-02-23 à 16:11

Bonjour,

je pense que tu ne peux résoudre cette équation qu'en utilisant une méthode numérique

Posté par
carpediem
re : Equation bizarre 18-02-23 à 17:28

salut

tu veux donc résoudre l'équation u tan u = -1 qui est transcendante donc impossible à résoudre exactement ...

Posté par
Donte
re : Equation bizarre 18-02-23 à 17:36

Très bien merci pour vos réponses.
Bonne soirée

Posté par
Ulmiere
re : Equation bizarre 18-02-23 à 17:43

Y'a surtout une infinité de solutions, il faut fixer un intervalle de résolution contenant exactement un zéro avant d'essayer de le trouver

Posté par
Donte
re : Equation bizarre 18-02-23 à 19:11

Il me faudrait les deux premiers valeurs pour lesquelles l'équation marche.
Mais c'est bon j'ai trouvé la solution merci à vous.

Posté par
Razes
re : Equation bizarre 19-02-23 à 12:34

Bonjour,

En posant: X=\dfrac xa

Ton equation devient:  \cot X=-X

Visualise la courbe de f(t)=\cot t et son intersection avec la courbe g(t)=-t

Tu ne pourra pas avoir une valeur explicite.

Posté par
Ulmiere
re : Equation bizarre 19-02-23 à 12:56

Autre manière de le voir : poser X = x/a.
Ton équation revient à 0 = X\sin(X) + \cos(X) =: f(X).

La fonction f est dérivable et pour tout y, f'(y) = \sin(y) + y\cos(y) - \sin(y) = y\cos(y).
Alors si tu trouves une solution X de ton problème, X' en est une autre si et seulement si \int_X^{X'} y\cos(y)dy = 0.

Si tu traces f et f', tu pourras voir graphiquement qu'effectivement l'aire algébrique entre deux zéros est de plus en plus grande et change de signe continument donc le TVI garantit l'existence d'un unique zéro de la dérivée entre les deux (qui est l'extremum local de la fonction).

Le graphe est plus sympathique que ceux avec des tangentes, mais surtout, ça nous dit que la moyenne de deux extremums locaux consécutifs est un point de départ raisonable pour lancer Newton-Raphson et trouver l'unique solution du problème entre ces deux bornes

Posté par
verdurin
re : Equation bizarre 19-02-23 à 19:33

Bonsoir,
en regardant le graphe avec les tangentes et l'hyperbole on peut voir que \dfrac x a =k\pi -\dfrac 1{k\pi}\ ;\; k\in\Z^* donne une bonne approximation de toutes les solutions, d'autant meilleure que la valeur absolue de k est grande.



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