Bonjour,

Equation d'une parabole...

Elle passe par A donc...
En ce point la tangente est (Ox) donc ...

...

Je te demandais d'abord comment tu écrirais une équation de parabole dans le cas général.

Puis d'utiliser le fait qu'elle passe par A ...

Bonjour littleguy

Ici, je pense que la parabole en question n'a pas son axe parallèle à un des axes de coordonnées.
Une voie possible : déterminer son foyer et sa directrice puis en déduire une équation.

D'où une question à pikozie :

  Que connais-tu relativement aux propriétés géométriques des tangentes à une parabole définie par foyer et directrice ?

Oui lake  tu as raison, je n'avais fait qu'effleurer le sujet (sans le traiter). Ça m'apprendra à me précipiter...  

ax²+bx+c=0

Elle passe par A(1; 0) => a+b+c=0

???

Ah ! Là, tu es dans un "troisième cas".  

Je dois quitter provisoirement mais je vais préparer quelque chose pour un peu plus tard.
Nous allons faire un peu de géométrie ... quitte à revenir ensuite aux équations.
A plus tard

C'est effectivement un peu difficile; je te donne une solution :

D'abord une figure :

  

Tu es dans un cas très particulier où les deux tangentes sont rectangulaires en .

  Quelques propriété :

   - Le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes rectangulaires à la parabole est la directrice de cette parabole.
   - Dans ce cas, le foyer est la projection du point intersection des tangentes (ici ) sur la corde des points de contact (ici ).

On détermine donc les coordonnées de défini comme pied de la perpendiculaire issue de sur .

On obtient (à toi de faire ce petit calcul) :

Autre propriété : le symétrique de par rapport à une tangente appartient à la directrice.

  On obtient immédiatement les coordonnées de et dont on déduit l'équation de la directrice :

Reste l'équation de la parabole :

Tu procèdes comme dans ton autre topic en écrivant que les distances de à la directrice et sont égales :



Tous calculs faits, tu dois tomber sur :

  

_{si je ne me suis pas trompé ...}

Je les copies comme complément à mon cour... Je vous remercie du fond du cœur...
Sans es propriété il fait dire que courrais "dans sac" ( expression de mon prof de maths )
Encore mille mercis.

J'ai une question : Et si c'était qu'on avait A(1; 0) et B(0; 1 ) ( on aurait donc un carré ) Les propriétés sont-elles valable...?!

Mais bien sûr ! Les tangentes restent orthogonales en   et les propriétés citées restent valables.

Tout de même, en Terminale, ton exercice est un peu "fort de café"...
Il y a d'ailleurs certainement d'autres méthodes; avec ce que je sais, j'ai été au plus simple (pour moi !).

Je suis curieux : de quel bouquin ton exercice est-il tiré si ce n'est pas indiscret ?

salut

si on est un peu moins savant que lake (qui est un pro en ce domaine) on peut aussi le faire dans l'autre sens en ne sachant que deux choses :

1/ une équation cartésienne générale (à un coef multiplicateur près) d'une conique est

2/ une équation cartésienne de la tangente à cette conique au point est qu'on obtient par "dédoublement" de la variable ...

et est la traduction de ce que la tangente a pour équation

ce qui nous permet avec les deux points A et B et leur tangente de résoudre un système d'inconnues a, b, c, d, e et f ...

bien entendu une résolution géométrique est toujours plus "performante" à tout point de vu qu'une recette analytique comme celle que je propose ...

mais qui par contre est à connaitre car se généralise ensuite à des espaces de dimension quelconque et aux variétés ...

Évidemment qu'il peut y avoir d'autres méthodes... Mais si celle ci m'est abordable c'est certainement "la plus facile"

Merci

Bonsoir carpediem,

Au départ, j'ai pensé à ça
Puis renoncé en espérant couper partiellement aux calculs.
Tout de même il y a une toute petite "simplification" sur compte tenu qu'on a affaire à une parabole.

Merci pikozie

Si l'angle n'est pas droit ... il faut que je consulte ma bibliothèque

Une chose est sûre : les affaires vont se compliquer ...

lake : je te fais confiance car tu es plus calé que moi ...

je suis resté très généraliste et "théoricien"

pikozie : de quel pays es-tu ?

car oui c'est un exercice "plus de France" depuis bien longtemps !!

Juste en passant, une recette de cuisine pour ta dernière question qui se limite à une construction géométrique.

  On se donne donc deux tangentes (en bleu) sécantes en et les points de contact et :



  - On construit le centre du cercle circonscrit au triangle .
  - est le milieu de la corde.
  - On construit la symédiane issue de dans le triangle (voir les deux angles égaux).
  - Le foyer est le projeté orthogonal de sur .
  - Reste à construire la directrice avec les symétriques de par rapport aux tangentes.

Évidemment, je me refuse à mettre ça en équations
Surement coton ...

L'objectif initial de la question étant de voir la tête qu'aurait l'équation... Je vais me contenter de cette belle illustration

Merci beaucoup lake

Bonsoir à tous,

Tu t'es trompé(e) dans ton système. Il ne doit comporter que 4 équations. Il en manque une dont nous allons parler.
J'ai donc fait les calculs suggérés par carpediem qui ne sont pas si terribles que ça. Il y a une petite surprise que j'aurais du anticiper.

J'obtiens le système suivant :



La dernière équation : (que j'ai ajoutée) signifie que la conique dont on s'occupe est une parabole.

Comme carpediem le signalait, les coefficients sont déterminés à une constante multiplicative près. (5 équations pour 6 inconnues). J'ai donc décidé de poser

Tu pourras constater que le système est très facile à résoudre (on détermine à la fin des fins). On obtient :

  

Avec , pas de surprise, on a bien l'équation de la parabole trouvée plus haut :

  

Mais avec , on obtient :

    

Quelle est donc cette bestiole ?

  

  

  

C'est l'équation de la droite ! Une conique dégénérée qu'il faut bien sûr éliminer.

Une animation pour voir ce qui se passe quand le paramètre varie.
Un faisceau de coniques (ellipses, hyperboles) tangentes aux axes de coordonnées en et qui coïncide avec la parabole pour et la droite pour .

A 23h08, il faut lire bien sûr

Pfioou ! et

Oui en effet: quand on pose c=1. Tout coule...

Mais j'ai une question, comment j'aurais pu décidé de prendre c=1 ? Oubien j'aurais pu aussi prendre c= 2 ( j'espère que là les autre valeurs seront toutes multipliées par 2)
Ainsi je pourrais simplifier l'équation en divisant les membres par 2 ...

?

Merci

Bonjour,
on peut dire aussi que l'ensemble des coniques dans l'animation précédente forme un faisceau dont les coniques dégénérées sont
- la droite (AB) en double (en double car les points A et B sont des points doubles : "tangente")
- la conique formées des deux tangentes

donc l'équation générale de ces coniques peut s'écrire


et de 0 pour une conique non dégénérée.

on écrit que cette conique est une parabole ()
ce qui donne une équation en l'inconnue :


la solution évidente étant éliminée, reste

nota : joue le même rôle que b vu que le coefficient de xy dans l'équation est

PS1 : à un facteur constant près (= 7 pour éliminer les dénominateurs)

PS 2 : cette méthode marche "même si l'angle n'est pas droit"
deux droites quelconques et deux points A et B quelconques de ces droites

etc

Bonjour mathafou,

Tout ça me plaît beaucoup

En résumé, relativement au problème posé, on part du faisceau de coniques défini par deux tangentes et leurs points de contact, et on trouve (très rapidement) laquelle de ces coniques est une parabole.
Les calculs sont extrèmement simples.
Je note aussi ceci :

  

Citation :
PS 2 : cette méthode marche "même si l'angle n'est pas droit"
deux droites quelconques et deux points A et B quelconques de ces droites

Citation :

aux pro des coniques !!

Ok... Merci à vous lake

Quant aux "citations" je vais y faire attention...


Merci

Bonsoir pikozie,

Citation :
Quant aux "citations" je vais y faire attention...