Niveau Maths sup

équation cosinus hyperbolique

Posté par
crackito34 11-10-21 à 23:06

Bonjour, j'ai eu en fin de colle :

Résoudre ch(x)+1/ch(x)=2/5

Je n'ai pas eu le temps de le terminer mais j'aimerais le faire en vu du prochain DS.

J'arrive un truc du genre : 5X²-4X+20=0 en posant X=exp(x)+exp(-x)
Mais je ne sais pas si ce changement de variable est le bon, ni même s'il sert à quelque chose puisque je trouve un discriminant négatif (-384 !!)

Merci pour votre aide

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 11-10-21 à 23:54

Bonjour,

Le changement de variable que tu proposes permet d'avoir une équation qu'on sait résoudre, donc c'est déjà bon signe.

Et si tes calculs sont bons, alors ton équation n'a pas de solution réelle.
Mais ton énoncé ne semble pas exclure la recherche de solutions complexes.
Si tu t'inquiètes qu'il n'y ait pas de solution réelle, je t'invite à regarder $f(x) := ch(x) + 1/ch(x)$ et à déterminer ses variations.
Tu peux également revérifier l'énoncé (on sait jamais).

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 12-10-21 à 00:46

Bonsoir,

Le premier changement de variable n'apporte rien de plus, autant mettre $X=\cosh(x)$

Résoudre l'équation en $X$ puis utiliser la fonction réciproque de $\cosh(x)$

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 12-10-21 à 08:02

Bonjour,

chx étant toujours supérieur ou égal à 1, et 1/chx positif, aucune possibilité de solution réelle.

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 12-10-21 à 18:10

Maru0

larrech @ 12-10-2021 à 08:02

Bonjour,

chx étant toujours supérieur ou égal à 1, et 1/chx positif, aucune possibilité de solution réelle.

Bonjour,

C'est vrai que je n'avais pas penser à ça. Cela me met donc un doute sur l'authenticité de l'énoncé

En revanche, avec une étude de fonction, je trouve que le f est décroissante jusqu'à f(0)=2 puis croissante. Donc cela confirme qu'il n'y a pas de solutions pour f(x)=2/5 (en tout cas dans cet énoncé

)

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 12-10-21 à 20:10

salut

crackito34 @ 12-10-2021 à 18:10

C'est vrai que je n'avais pas penser à ça. Cela me met donc un doute sur l'authenticité de l'énoncé

ben pourquoi ?

pourquoi faudrait-il qu'une (in)équation ait toujours (au moins) une solution ?

ça dépend du cadre dans lequel apparait cette équation ...

Posté par re : équation cosinus hyperbolique 12-10-21 à 23:46

Bonsoir crackito34,

Si la résolution est sur $R$ , alors tu as raison il n'y a pas de solutions pour $f(x)=2/5$

Mais, si c'est dans $C$ , cela change tout et il y aura, en principe, 4 solutions complexes.