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Niveau maths sup
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équation d espace

Posté par guegue (invité) 17-11-04 à 17:58

Si vous avez une idéé ???

On considère trois points non alignés de l'espace A, B et C, on cherche les points M vérifiants ->MA^(->MB^->MC)=->0

1) Donner un point et une droite soluton
2) Exprimer ->MA^(->MB^->MC)=->0 comme combi linéaire de ->MB et -> MC
3) En déduire l'ensemble cherché
4) Retrouver analytiquement ce résultat.

C'est la première fois que je fais une requête, je sais pas si qq'1 pourra m'aider. En tous cas, si vous avez la moindre info, ou le moindre renseignement sur le produit vectoriel dans toute sa splandeur, ca m'interesse.

Merci et topette

Posté par
franz
re : équation d espace 17-11-04 à 19:09

Bonsoir guegue

1/ A est foncémént solution car \vec{AA} = \vec{0}
 \forall M \in (BC) , \;\;\vec{MB}\wedge\vec{MC} = (\lambda\vec{BC})\wedge(\mu\vec{BC}) = \vec{0}

2/  \vec{MA}\wedge (\vec{MB}\wedge\vec{MC}) = (\vec{MA}.\vec{MC}) \vec{MB} \; - \; (\vec{MA}.\vec{MB}) \vec{MC}

Je continue plus tard

Posté par guegue (invité)re : équation d espace 17-11-04 à 19:59

Jusque là, je suis d'accord, j'ai trouvé pareil. Mais comment expromer MA en fonction de MB et MC ? Relation de Chasles ? En tout cas, un grand merci d'avoir réconforter mes idées.
Toutes autres idées sony les bienvenues

A bientot je l'espère

Posté par
franz
re : équation d espace 17-11-04 à 21:50

Me voilà de retour

3/ 2 cas sont à considérer.

\bullet \; M \in (BC)
or d'après le 1/ (BC) est inclus dans l'ensemble des solutions

\bullet \; M \notin (BC)
Dans ce cas les vecteurs \vec{MB} et \vec{MC} sont linéairement indépendants. Le point M est solution si et seulement si (\vec{MA}.\vec{MB}=0 et \vec{MA}.\vec{MC}=0).

Soit I le milieu de [AB].
\begin{tabular}{ccc}\vec{MA}.\vec{MB}=0 & \Longleftrightarrow & (\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IB})=0 \\ & \Longleftrightarrow & MI^2 - IA^2 = 0 \\ \\ & \Longleftrightarrow & M \in S \end{tabular}
                  où S est la sphère de centre I et de rayon IA c'est à dire la sphère de diamètre [AB].

Le pont M est solution ssi il se trouve sur le cercle \Gamma intersection des sphères de diamètre respectivement [AB] et [AC].


L'ensemble des solutions est donc l'union de ce cercle \Gammaet de la droite (BC)

Posté par
franz
re : équation d espace 17-11-04 à 22:08

PS :  Le cercle \Gamma est non vide car A \in \Gamma et non réduit à un point sinon A,B et C seraient alignés (en effet, si le cercle \Gamma était réduit à A, les deux sphères seraient tangentes et, le centre de chacune des deux sphères se trouvant sur la droite passant par A et orthogonale au plan de tangence, B et C appartiendraient à une même droite issue de A)

Je molis pour le 4/ devant les calculs. Je pense qu'il peut être astucieux de placer l'origine du repère en A, de prendre le vecteur \vec i colinéaire à \vec {AB} et le vecteur \vec j tel que \vec {AC} = c_1 \vec i + c_2 \vec j

Posté par guegue (invité)re : équation d espace 20-11-04 à 12:31

De mon côté j'avais finis par trouver les mêmes solutions. Merci pour tous.
En ce qui concerne 4) j'ai pensé à prendre un repère centré en B. Du coup, je bloque encore, mais voici mes resultats :

(->MA)=-x(->i)+(ya-y)(->j)+(za-z)(->k)
(->MB)=-x(->i)-y(->j)-z(->k)
(->MC)=-x(->i)+(yc-y)(->j)-z(->k

->MB^->MC=-zyc(->i)-xyc(->k)
->MA^(->MB^->MC)=(y-ya)xyc(->i)+[(z-za)zyx-x²yc](->j)+zyc(ya-y)(->k)=->0

   y=ya
et z(za-z)=x²



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