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équation d'un plan dans l'espace

Posté par
bruschetta1
12-05-08 à 17:07

bonjours à tous

voilà un problème bien difficile où les inconnues ne manquent pas :

1. on considère l'équation (E): 6x+7y=57 où x et y sont des entiers relatifs.
a) determiner un couple d'entier relatifs (u,v) tel que 6u+7v=1 , en déduire une solution particuliere (x0;y0) de l'équation (E)

b) determiner les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E)

2. soit (O;;;) un repère orthonormal de l'espace
On considère le plan P d'équation : 6x+7y+8z=57
On considère les points du plan P qui appartient aussi au plan (O;;).montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point

3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x y et z sont des entiers naturels
a) Montrer que l'entier y est impair

b) On pose y=2p+1 où p est un entier naturel
   Montrer que le reste dans la division euclidienne de p+z par 3 est égale à 1

c) On pose p+z=3q+1 où q est un entier naturel
   Montrer que les entiers naturels x p et q vérifient la relation : x+p+4q=7
   En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1

d) En déduire les coordonnées de tous les points de P donc les coordonnées sont des entiers naturels




voilà pour l'énoncé et voici ce que j'ai fais :

1. a)  (u,v) : (-1,1)  donc (x0;y0) : (-57,57)

pour la question 2. je pense que le point a pour coordonnées ( -57,57,0) mais je ne sais pas comment le montrer

3. a) y est impair car 6 et 8 sont pair et 57 est impair donc 7y est impair donc y est impair

pour la 3.c) il est facile de vérifier la relation mais je ne sais pas comment montrer le reste 1 de la division euclidienne

et voilà c'est tout ce que j'ai réussi à faire
merci de votre aide pour les questions où je bloque

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:14

Bonjour,

2)Non, car -57 n'est pas un entier naturel.

Qu'as-tu trouvé pour la question 1b)?

C'est de cela qu'il faut se servir!

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:18

je n'est pas trouvé la 1b) je ne sais pas si il faut tester différente valeurs ou s'il ya une méthode de résolution d'équation ?

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:23

sinn il y a (0,7,1)

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:24

(1,5,2)

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:27

(2,3,3) (6,3,0)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:28

Oui, il y a une méthode générale:

Si(x0,y0) est une solution particulière, alors pour toute solution (x,y) on a

6x0+7y0=57

6x+7y=57.

On soustrait, d'où 6(x-x0)==7(y0-y).

6 et 7 étant premiers entre eux, on en déduit que 7|x-x0 et que 6|y0-y.

Donc il existe k et m entiers relatifs tels que:

x=x0+7k et y=y0+6m .

En remplaçant dans l'équation initiale et en réutilisant le fait que 6x0+7y0=57, on obtient la condition nécessaire et suffisante m=-k pour que (x,y)=(x0+7k ; y0+6m ) soit solution de l'équation.

Ici, il s'agit donc de {(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.



Pour la 3b), mets en facteur le plus de 3 possibles dans l'expression 3x+7p+4z=25.

Il va rester p+z=1+3u, u entier, donc le reste vaudra 1.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:35

dans la 3 b) je dois obtenir : 3(x+2p+z-8) +p+z=1 ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:38

Exactement.

Sinon,tu as compris pour 1b?

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:42

j'ai bien compris que 7/x-x0 donc x=x0+7k , pareil avec 6
quand tu remplace dans l'équation initiale ça donne :
6(x0+7k) + 7(y0+6m) = 57 ?

et esnuite je ne comprend pas

Citation :
Ici, il s'agit donc de {(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:47

d'accord j'ai compris en fais tout les couples s'écrivent ( -57 +7k , 57+6m ) avec k et m des entiers relatifs et là je ne comprend pas pourquoi m = -k      ^^

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:51

Quand tu obtiens 6(x0+7k) + 7(y0+6m) = 57 , tu développes, puis tu utilises que 6x0+7y0=57, il reste 42(k+m)=0 d'où k=-m.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:53

ok d'accord j'ai compris , merci beaucoup pour tes explications c'est beaucoup plus clair maintenant

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 17:53

Avec plaisir.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:00

pour la 2. je vois pourquoi on a besoin de la 1)b) :

-57 + 7k > 0   et 57-6k > 0 donc k=9 et seulement 9

soit le couple ( 6,3,0)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:03

Oui c'est juste, et tu t'es bien servi de la forme GENERALE des solutions obtenue en 1b) non?!

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:04

oui oui :

Citation :
{(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:05

Voilà.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:10

je t'embete encore une dernière fois :
pour la 3d) je trouve les couples :
(7-p , 2p+1, 1-p) q=0 et p entier relatif
(3-p , 2p+1, 4-p) q=1 et p entier relatif

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:15

mais p 1 donc les couples :

(7,1,1)  (6,3,0)  (3,1,4)  (2,3,3)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:20

Non c'est faux, tu oublies qu'on veut des entiers naturels, donc positifs ou nuls!

Sers-toi de x+p+4q=7 puis rappelle-toi que q vaut 0 ou 1.

Si q=0 cherche toutes les possibilités pour x et p, donc pour x et y=2p+1.

Le z correspondant s'obtient grâce à p+z=3q+1.


Idem pour q=1.


Enfin vérifie que les solutions trouvées satisfont bien l'équation du plan.

Sauf erreur de ma part, j'obtiens exactement 6 solutions (2 lorsque q=0, 4 lorsque q=1).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:20

Posts croisés.

Tes triplets sont tous justes, mais il t'en manque deux.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:24

je ne vois pas du tout où trouver les deux manquantes ^^

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:35

Essaie voir q=1 et x=1, que vaut p?

Puis q=1 et x=0.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:35

q = 0 ou 1
donc 2 possibilitées
p = 0 ou 1
donc 2^2 possibilitées = 4 possibilitées
6 solutions ? ^^

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:35

j'essaie ..

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:37

D'où tires-tu que p=0 ou 1?

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:38

Citation :
7-p , 2p+1, 1-p)


or
Citation :
dont les coordonnées sont des entiers naturels

donc 1-p 0
p1
donc p = 0 ou 1

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:40

Oui mais tu t'auto-cites, alors que ton résultat était faux...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:42

Pardon, en fait c'est peut-être juste, mais seulement si q=0.

Si q=1, on a 4-p comme 3è coordonnée, d'où p est inférieur ou égal à 4.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:42

comment ça ?
q = 0 ou 1 ça c'est sur et x+4q+

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:42

dsl j'ai buggé sur le dernier post

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:44

1 ere coordonnées : p inferieur ou egale à 3 soit p = 0 ,1 ,2,3

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:45

D'accord, en effet.

D'où 4 solutions si q=1.

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:45

tu avais raison il y a deux coordonnées de plus :

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:46

donc 6 au total

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:46

Oui, alors tu les as tes solutions manquantes?

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:47

(1 5 2)
(0 7 1)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:49

Yes!! Félicitations, il est terminé ton DM!

Posté par
bruschetta1
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:49

merci beaucoup tigweg pour tout l'exercice
passe une bonne soirée

à bientot

Posté par
Tigweg Correcteur
re : équation d'un plan dans l'espace 12-05-08 à 18:53

Bonne soirée à toi, et je t'en prie!



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