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équation d'un taux de prêt

Posté par Jilux (invité) 21-05-06 à 17:19

Bonjour

J'ai un problème avec un exercice de comptabilité financière.

Enoncé :

Un emprunt de 50 000 € est remboursé en 12 annuités constantes de 8 203,17 €.

Déteminer à quel taux a été conclu le prêt.

J'ai trouvé l'équation :

f= (Cxt)/1-(1+t)^-n

f=8 203,17 €

C= 50 000 €

t=? ce qu'on cherche

n= 12 années

Je n'arrive pas à résoudre l'équation.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider.

Merci beaucoup.

Posté par
moominre : équation d'un taux de prêt 21-05-06 à 19:09

Salut,

t= (50000 X x )/100

50000 + t = 8203,17 X 12
50000 + t = 98438,04
t = 98438,04 - 50000
t = 48438,04

t = (50000 X x ) /100 = 48438,04
     50000 X x = 48438,04 X 100
     50000 X x = 4843804
     x = 4843804 / 50000
     x = 96,87608
Le pret a été conclu à un taux de 96,87608 %

Je ne suis qu'en seconde,mais j'espère que c'est juste car je n'ai jamais vu un taux comme ça

Salut.
Moomin

Posté par Jilux (invité)re 21-05-06 à 19:21

Merci de ton aide mais c'est pas combien au total ça va me coûter mais le taux d'intérêt. Je suis allé sur exel et ont doit trouver 12,35%. Le problème c'est que je sais pas comment faire. Je pense que c'est avec l'équation que j'ai donné.

Posté par sambgoree (invité)re : équation d'un taux de prêt 21-05-06 à 19:24

Salut Jilux je voulais savoir si "t" peut prendre plusieurs valeurs? si ce n'est pas le cas alors, observe que zéro est une solution de votre équation!....

Posté par Jilux (invité)re 21-05-06 à 19:51

Il faut démontrer que t=12,35%. Comme je l'ai dit je suis allé sur exel et c'est ce que j'ai trouvé le problème c'est que je n'arrive pas à faire l'équation.

Posté par sambgoree (invité)re : équation d'un taux de prêt 21-05-06 à 20:08

si tron équation est bien donné ......j'ai eu : f=(ct)/(1-(1+t)^n) \\ <=> ct/f+1/(1+t)^n-1=0 \\ <=>(1+t)^n(ct-f)=-f \\ <=> c\sum_{i=0}^n\(i\\n\)t^{i+1}-f\sum_{i=0}^n\(i\\n\)t^i=0 \\ <=> ct^{13}+(\sum_{i=1}^{12\(i-1\\12\)t^i-f\sum_{i=1}^12\(i\\12\)t^i)-f=-f
"pour n=12 on a un polynome de degré 13 à résoudre":
<=> ct^{13}+\sum_{i=1}^{12}(c\(i-1\\12\)-f\(i\\12\))t^i=0maintenant comme les coefficient du polynome sont connus alors résoudre attentivement!!...sauf erreur!

Posté par Jilux (invité)re 21-05-06 à 20:51

Je ne sais pas faire un polynome du 13ème degrès j'ai pas appris à faire ça . Merci quand même.

Posté par Laety (invité)RE équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 07:04

En partant de ta formule de départ, on obtient :
f(1 -(1+t)^(-n))= Ct
soit 1 -(1+t)^(-n)= Ct/f
Le problème la dedans, c'est ton expression (1+t)^(-12). A mon avis, tu devrais tenter un développement limité de cette expression à l'ordre 2 voire 3 (si tu as déjà vu ces notions). Tu te retrouverais alors avec une equation du troisième degré, qui pourrait te donner une valeur appochée de t.
C'est juste une idée, à tenter, désolée de ne pas mener les calculs à terme, je manque de temps ce matin!

Posté par sambgoree (invité)re : équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 15:01

bonjou Laety,NB:pour faire un développement limité de(1+t)^n,il faut que t soit au voisinage de zéro =>soit le module de t inférieur à 1.....et là on na pas de renseignement sur la valeur de t...merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 16:07

Bonjour,

Soit K le capital de départ : K = 50 000
Soit F l'annuité : F = 8 203,17
Soit n le nombre d'annuité : n = 12
Soit \tau le taux.

On actualise les flux.

\begin{array}{rcl}K & = & \frac{F}{(1+\tau)^1}+\frac{F}{(1+\tau)^2}+...+\frac{F}{(1+\tau)^{n}}\\&=&\frac{F}{(1+\tau)}\left(1+\frac{1}{(1+\tau)^1}+\frac{1}{(1+\tau)^2}+...+\frac{1}{(1+\tau)^{n-1}}\right)\\&=&\frac{F}{(1+\tau)}\frac{1-\left(\frac{1}{1+\tau}\right)^n}{1-\frac{1}{1+\tau}}\\&=&\frac{F}{\tau}\left[1-\left(\frac{1}{1+\tau}\right)^n\right]\end{array}

On peut trouver \tau par développement limité ou calcul numérique.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par Laety (invité)Re 22-05-06 à 17:26

sauf erreur de ma part concernant le DL, si on sait que t est le taux de placement, il est forcément inférieur à 100% soit à 1, non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 17:28

Bien sûr.

Posté par Laety (invité)RE équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 17:32

Merci de me rassurer, vu la réponse à mon intervention de ce matin, je commençais à me croire bonne pour la casse! lol

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 17:45

Posté par sambgoree (invité)re : équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 17:51

excuz moi,vous avez raison!!

Posté par Laety (invité)RE équation d'un taux de prêt 22-05-06 à 17:54

A moins d'un mois de l'oral de mon concours, il faut pas me faire des peurs pareilles!!!!

Posté par Jilux (invité)re 22-05-06 à 21:22

Je vous remercie de vos réponses. Par contre ton équation Nicolas je ne sais pas la développer. Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 23-05-06 à 01:43

Jilux, mon équation est la même que Laety et que celle qui doit être dans ton cours.
Tu ne peux pas en effet isoler t de manière explicite.
a) Tu peux calculer sa valeur approchée par la fonction "Solve" de ta calculatrice ou d'un tableur, etc...
b) Ou bien tu écris : \frac{1}{1+\tau}\simeq 1-n\tau et tu vas te retrouver avec une équation du 2nd degré en \tau

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 23-05-06 à 01:44

Pardon :
\left(\frac{1}{1+\tau}right)^n\simeq 1-n\tau

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 23-05-06 à 01:45

Décidément...
\left(\frac{1}{1+\tau}\right)^n\simeq 1-n\tau

Posté par Jilux (invité)re 23-05-06 à 08:12

D'accord Nicolas merci, malheureusemnet ça n'y est aps dans mon cour.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation d'un taux de prêt 23-05-06 à 16:11

Je t'en prie.


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