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Équation dans C
Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice dont l'énoncé est le suivant:
''soit (E): z³+(4-5i)z²+(8-20i)z-40i=0 une équation d'inconnue z.
1) Démontrer que (E) admet une solution imaginaire pure.
2) Résoudre (E) dans C.''
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1) Un imaginaire pur s'écrit de la forme bi où b est un réel. Donc je dois montrer qu'en remplaçant z par bi dans (E) , l'équation reste vérifiée.
Ainsi je trouve après factorisation par i du membre de gauche:
i(-b³+13b-40) + 16b=0
Mais je trouve pas un moyen pour prouver cette égalité...
Auriez-vous une piste?
En remplaçant z par bi:
(bi)³+(4-5i)(bi)²+(8-20i)bi-40i=0
<=> -b³-b(4-5i)+(8bi-20bi²)-40i=0
<=> -b³+16b+13bi-40i=0
<=> 16b-b³+i(13b-40)=0
Je peux maintenant résoudre les deux équations:
20b-4b²=0
-44-b³+8b=0 pour montrer que (E) a une solution imaginaire pure?
résous 20b-4b^2=0,
et remplace les racines dans -b³+5b²+8b-40 et vois si tu trouve bien un résultat nul
La résolution de -4b²+20b=0
donne deux solutions : b1=0 et b2=5.
Vérification dans -b³+5b²+8b-40=0
Pour b=0 ; l'égalité est fausse.
Pour b=5; on trouve bien 0=0.
on retient que b=5.
Donc (E) admet une solution imaginaire pure bi=5i.
z=2i est solution :
(E) : (z-2i)(az²+bz+c)=0
<=> az³+bz²+cz-2aiz²-2biz-2ic=0
<=> az³+(b-2ai)z²+(c-2bi)z-2ic=0
or (E): z³+(4-5i)z²+(8-20i)z-40i=0
par identification ;
a=1
b-2ai=4-5i <=> b-2i=4-5i <=>
b=4-3i
de même -2ic=-40i <=> 2c=40 => c=20.
je vérifie que c-2bi=8-20i est vraie.
c= 8-20i+2i(4-3i)=8-20i+8i+6=14-2i≠20.
ce qui paraît un peu bizarre.
Par identification ; je trouve donc a=4; b=8.
(E): (z-5i)(z²+4z+8)=0
je trouve les racines de z²+4z+8 .
le discrimant est égal à 16-32=-16=16i²=(4i)².
z1=-2-2i et z2=-2+2i.
S(E)={5i ; -2-2i ; -2+2i}
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