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Équation dans C.

Posté par
matheux14 20-02-21 à 18:03

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit le nombre complexe z_{0}=e^{i\frac{2\pi}{5}}.

On pose u=z_{0}+z_{0}^{4} et v=z_{0}²+z_{0}³.

1) Démontrer que z_{0}~^{5}=1 et que 1+z_{0}+z_{0}²+z_{0}³+z_{0}^{4}=0.

2) En déduire que u et v sont solutions de l'équation (E)~: z\in \C ~ , ~ z²+z-1=0 .

3) Exprimer u en fonction de \cos\dfrac{2\pi}{5}.

4) Résoudre (E) et en déduire la valeur exacte de \cos\dfrac{2\pi}{5}.

Réponses

1) * z_{0}=e^{i\frac{2\pi}{5}}=\cos\dfrac{2\pi}{5}+\sin \dfrac{2\pi}{5}.

==> z_{0}^{5}=(\cos\dfrac{2\pi}{5}+\sin \dfrac{2\pi}{5})^{5}

D'après la formule de Moivre , z_{0}^{5}=\cos\left(5×\dfrac{2\pi}{5}\right)+i\sin\left(5×\dfrac{2\pi}{5}\right)

z_{0}^{5}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i×0=1

z_{0}^{5}=1

* Pour 1+z_{0}+z_{0}²+z_{0}³+z_{0}^{4}=0 , j'ai essayé avec Moivre mais c'est très long et difficile et en plus je n'y arrive pas.

Posté par
veledare : Équation dans C. 20-02-21 à 18:43

bonjour,
tu   sais calculer la somme des termes d'une suite géométrique

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 20-02-21 à 18:43

Bonjour,
Sais-tu transformer \; 1+q+q2+q3+q4 \; quand \; q 1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 20-02-21 à 18:44

Bonjour veleda,
Même idée
Je te laisse poursuivre.

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 20-02-21 à 18:56

Oui , sinon vous n'auriez pas une autre méthode ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 20-02-21 à 19:09

Pourquoi ? Elle ne te plait pas notre méthode ?

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 20-02-21 à 19:29

Bien sûr

Soit S4=1+q+q²+q³+q⁴ = q0+q+q²+q³+q⁴

S4 est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q , de 1er terme 1 et de dernier terme q⁴.

Le nombre de termes est N = 4-0+1=5.

D'où S4= \dfrac{1-q^{5}}{1+q}

Or q=z0 ; q5=(z0)5=1

S4= \dfrac{1-q^{5}}{1+q}=\dfrac{1-1}{1+z_{0}}=0

Posté par
carpediemre : Équation dans C. 20-02-21 à 19:50

salut

1/ quand on connait l'exponentielle pourquoi passer par la formule de Moivre ?

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 20-02-21 à 20:30

Ben pour ne pas l'oublier...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 20-02-21 à 21:12

Et pour compter le nombre de termes de cette somme \; 1+q+q²+q³+q⁴ , pas besoin de formule :
Si je demande le nombre de termes de la somme \; a+b+c+d+e , tu saurais répondre, non ?

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 08:23

Ben oui ..

On a 5 , mais certains profs sont plus exigeants que d'autres..

Posté par
carpediemre : Équation dans C. 21-02-21 à 10:07

c'est de l'exigence de mauvais aloi ici ... : le nombre de termes est évident !!

par contre l'exigence est là :

matheux14 @ 20-02-2021 à 19:29


S4 est la somme des cinq premiers termes consécutifs d'une de la suite géométrique de raison q , de 1er terme 1 et de dernier terme q⁴;.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 10:50

Citation :
c'est de l'exigence de mauvais aloi ici
Tout à fait d'accord
Par contre, pour une somme du genre \; q5 + q6 + q7 + ... + qn+9 , là, oui, il faudrait justifier le nombre de termes.
Et voici comment on pourrait le justifier sans formule :
q5 + q6 + q7 + ... + qn+9 = q4+1 + q4+2 + q4+3 + ... + q4+(n+5)

Posté par
malou Webmasterre : Équation dans C. 21-02-21 à 12:04

Bonjour à tous,
je ne fais que passer
par contre au niveau exigence matheux14
t'aurais pas oublié quelque chose dans ton 1er message ?

Citation :
1) * z_{0}=e^{i\frac{2\pi}{5}}=\cos\dfrac{2\pi}{5}+\sin \dfrac{2\pi}{5}.


bonne journée à tous

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 12:10

Bonjour malou
Oui, là, quel que soit son niveau d'exigence, on se doit de réagir !

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 12:11

Oui , une faute de frappe..

Posté par
malou Webmasterre : Équation dans C. 21-02-21 à 12:59

Bonjour Sylvieg
en réalité je l'avais vu dès qu'il avait posté, mais comme je ne pouvais pas suivre le fil, je n'avais rien dit et franchement, repasser par Moivre quand on a la forme exponentielle ...

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 16:41

2) u²+u-1= (z_{0}+z_{0}~^{4})²+(z_{0}+z_{0}~^{4})-1

=z_{0}²+2z_{0}z_{0}~^{4}+z_{0}~^{8}+z_{0}+z_{0}~^{4}-1

={\blue{1+z_{0}+z_{0}²+z_{0}³+z_{0}~^{4}}}+2{\green{z_{0}}}~^{5}-z_{0}³-2+z_{0}~^{8}

={\blue{0}}+2×{\green{1}}-z_{0}³-2+z_{0}^{5}×z_{0}³

=2-2+z_{0}³({\green{z_{0}^{5}}}-1)

=z_{0}³({\green{1}}}-1)

\boxed{u²+u-1=0} (1)

*v²+v-1=(z_{0}²+z_{0}³)²+(z_{0}²+z_{0}³)-1

=z_{0}^{4}+2z_{0}^{5}+z_{0}^{6}+z_{0}²+z_{0}³-1

={\blue{1+z_{0}+z_{0}²+z_{0}³+z_{0}~^{4}}}+2{\green{z_{0}^{5}}}-2-z_{0}+z_{0}^{6}

={\blue{0}}+2×{\green{1}}-2-z_{0}+z_{0}^{6}

=z_{0}×{\green{z_{0}^{5}}}-z_{0}

=z_{0}×{\green{1}}}-z_{0}

=z_{0}-z_{0}

\boxed{v²+v-1=0} (2)

(1) et (2) ==> u et v sont solutions de l'équation (E)~: z\in \C ~ , ~ z²+z-1=0 .

3) Je trouve u=\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)+{\large{i}}\left(\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)\right)

C'est bon ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 17:09

Une coquille dans \; u . Il y a un cos au lieu d'un sin.

L'équation \; z2 + z -1 = 0 a un discriminant positif.
u et v sont donc des réels.

La partie imaginaire de u est donc nulle.
Trouve un lien entre \; 2/5 \; et \; 8/5 .

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 17:44

\dfrac{8\pi}{5}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{5}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 18:03

Oui.
Je préfère \; 2\pi - \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \;

a+b = 2 \; donne, au choix, \; a = 2 - b \; ou \; b = 2 - a .

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 19:29

Les solutions de (E) sont : z_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} et z_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}

u étant une autre solution des solutions de (E) , on a :

u=z_{1} ou u=z_{2}

Le discriminant de (E) étant positif , u=\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)+{\large{i}}\left(\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\sin\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)\right)

=\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)+0

u=\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)

Or 2\pi-\dfrac{8\pi}{5}=\dfrac{2\pi}{5}

Donc u=\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)

D'où u=z_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}  ou u=z_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}

<==> 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}

Ou 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}

<==>  \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}

Ou \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}

Arrivé là j'aimerais bien déduire que  \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} car sur le cercle trigonométrique cos(2π/5) est bien positif..

Mais comment je gère   \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4} ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 20:37

Deux choses :

1) \sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\sin\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)\right) est nul pour la même raison que \; \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) .

2) Pour gérer \; \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4} , il suffit de dire que c'est impossible.

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 21-02-21 à 21:37

Oui , mais j'aimerais bien justifier pourquoi c'est impossible.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C. 21-02-21 à 22:41

Tu ne sais pas démontrer que cos(2/5) est positif ?
En terminale, on est censé connaître le signe de cos(x) selon les valeurs de x.

Posté par
matheux14re : Équation dans C. 22-02-21 à 15:58

Merci


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