Soient et et considérons l'équation de Kepler : .
On définit la suite: définie par:
.
1. Montrer que la suite vérifie:
>0, n0: nn0, p .
2. On admet que converge vers une limite l. Montrer que l est l'unique solution de l'équation de Kepler.
Je n'arrive pas à résoudre la question 1..J'ai commencé par considérer un quelconque dans R*+. Avec l'inégalité triangulaire, j'ai eu:
J'ai pensé à les majorer par mai on ne sait vers où tend .. J'ai pensé également à transformer la somme des sinus avant de passer à l'inégalité triangulaire, mais en vain..
Merci de donner des indications ^^
Bonjour Yona07,
Tu peux commencer par essayer de majorer , en remplaçant ces deux valeurs par leur expression en fonction du terme précédent.
Va apparaître ensuite une différence de sin. Que peux-tu utiliser pour majorer une différence d'images par la même fonction?
Cela te donnera donc une majoration de , pour tout n.
Maintenant, dans , fais apparaître les termes intermédiaires, et applique la majoration trouvée avant.
Tu devrais obtenir une majoration intéressante, et pouvoir conclure...
Bonsoir larrech et Foxdevil! Désolée pour le retard, je viens de rentrer chez moi (^_^)''. Merci pour vos interventions. Je vais tester ce que vous avez proposé.
Ok, c'est beaucoup mieux .
Sinon, petit détail, on peut "calculer" .
Pour l'expression , on peut la majorer également.
Comme ça, on obtient une majoration indépendante de p, et on pourra répondre à la question
Super! ^^ Merci infiniment. Je vais maintenant essayer de résoudre la deuxième question. Avez-vous des propositions?
Alors, tu peux considérer la fonction sur tout en fait. Et effectivement la continuité implique que l est une solution de l'équation de Kepler.
Maintenant pourquoi f n'admet-elle qu'un unique point fixe?
Rappelle-toi....f est contractante; ie il existe tel que pour tout .
Du coup, que se passerait-il si f admettait deux points fixes l et l' distints?
On a vu les fonctions k-lipschitzienne en première. Il me semble que la contractante est en fait k-lipschitzienne mais le k<1 au lieu de k1, n'est ce pas?
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