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Equation de la perpendiculaire commune à deux droites

Posté par
infophile 10-10-07 à 20:31

Bonjour

Je suis en train de faire un exercice classique et je ne vois pas mon erreur, ce n'est pas important mais ça m'énerve

Citation :
Soit 3$ \rm (O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) repère orthonormé direct de l'espace et 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) les droites d'équations :

3$ \rm (\scr{D_1}): \{2x+y+z=2\\x+y+z=1   3$ \rm (\scr{D_2}): \{x-y+z=1\\2x-y+z=4

Ecrire l'équation de la perpendiculaire commune à 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) puis calculer 3$ \rm d(\scr{D_1},\scr{D_2})


Ma réponse :

On cherche un vecteur directeur 3$ \rm \vec{w} de la perpendiculaire 3$ \rm (\scr{L})

3$ \rm \vec{w}=\vec{u}\wedge \vec{v} avec 3$ \rm \vec{u} et 3$ \rm \vec{v} les vecteurs directeurs respectifs de 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2})

On a 3$ \rm \vec{u}=\(2\\1\\1\)\wedge \(1\\1\\1\)=\(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\) et 3$ \rm \vec{v}=\(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\)\wedge \(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\)=\(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\) D'où 3$ \rm \fbox{\vec{w}=\(\begin{array}{c}-2\\0\\0\end{array}\)}

Soit 3$ \rm A\(1\\0\\0\)\in (\scr{D_1}), on cherche le plan 3$ \rm \scr{P} passant par A et de vecteurs directeurs 3$ \rm \vec{u} et 3$ \rm \vec{w}

Un vecteur normal à 3$ \rm \scr{P} est 3$ \rm \vec{u}\wedge \vec{w}=\(\begin{array}{c}0\\2\\2\end{array}\) donc son équation est 3$ \rm y+z=0

De même le plan 3$ \rm \scr{P'} passant par 3$ \rm B\(3\\2\\0\) et de vecteurs directeurs 3$ \rm \vec{v} et 3$ \rm \vec{w} a pour vecteur normal 3$ \rm \vec{v}\wedge \vec{w}=\(\begin{array}{c}0\\-2\\2\end{array}\)

Son équation est donc 3$ \rm -y+z=0

La droite 3$ \rm (\scr{L}) est à l'intersection de ces deux plans : 3$ \rm (\scr{L}): \{y+z=0\\-y+z=0

La distance entre les droites 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) correspond à la longueur du segment 3$ \rm [HH'] où 3$ \rm H et l'intersection de 3$ \rm (\scr{L}) et 3$ \rm (\scr{D_2}), et 3$ \rm H' l'intersection de 3$ \rm (\scr{L}) et 3$ \rm (\scr{D_2}).

Ainsi 3$ \rm \{H\}: \{y+z=0\\-y+z=0\\2x+y+z=2\\x+y+z=1 d'où 3$ \rm H\(1\\0\\0\)

Et 3$ \rm \{H'\}: \{y+z=0\\-y+z=0\\x-y+z=1\\2x-y+z=4 , sauf qu'ici l'intersection est vide

Merci

Posté par
Skopsre : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:02

Ptite remarque : tes équations ne définissent pas un plan ?

Skops

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:06

Oui mais un système de deux équations définit l'intersection de deux plans, soit une droite

Posté par
gui_toure : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:08

Les calculs m'ont l'air juste pourtant ...

Salut Skops

Posté par
Skopsre : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:09

Salut gui_tou

Skops

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:12

J'ai la vague impression que ce topic va tourner en expresso

Personne ne voit d'erreur ?

Posté par
gui_toure : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:13

Skops, ça te dirait de venir faire un tour par chez moi Equation différentielle du second ordre

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:24

Bon déjà ma droite (L) j'en suis convaincu elle est bonne

Le problème doit être pour H et H'...

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:39

En revanche si on fait :

3$ \rm H=P\cap D_2: \{y+z=0\\x-y+z=1\\2x-y+z=4 on tire 3$ \rm H\(\begin{array}3\\1\\-1\end{array}\)

De même 3$ \rm H'=P'\cap D_1: \{y-z=0\\2x+y+z=2\\x+y+z=1 il vient 3$ \rm H'\(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\)

D'où 3$ \rm HH'=\sqrt{6}

Malheureusement la correction donne pour réponse 2

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:43

J'ai trouvé ! Je me suis planté dans l'équation de P'

Posté par
gui_toure : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:43

Posté par
infophilere : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:58

Et voilà l'original :

Soit 3$ \rm (O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) repère orthonormé direct de l'espace et 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) les droites d'équations :

3$ \rm (\scr{D_1}): \{2x+y+z=2\\x+y+z=1   3$ \rm (\scr{D_2}): \{x-y+z=1\\2x-y+z=4

Ecrire l'équation de la perpendiculaire commune à 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) puis calculer 3$ \rm d(\scr{D_1},\scr{D_2})

On cherche un vecteur directeur 3$ \rm \vec{w} de la perpendiculaire 3$ \rm (\scr{L})

3$ \rm \vec{w}=\vec{u}\wedge \vec{v} avec 3$ \rm \vec{u} et 3$ \rm \vec{v} les vecteurs directeurs respectifs de 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2})

On a 3$ \rm \vec{u}=\(2\\1\\1\)\wedge \(1\\1\\1\)=\(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\) et 3$ \rm \vec{v}=\(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\)\wedge \(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\)=\(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\) D'où 3$ \rm \fbox{\vec{w}=\(\begin{array}{c}-2\\0\\0\end{array}\)}

Soit 3$ \rm A\(1\\0\\0\)\in (\scr{D_1}), on cherche le plan 3$ \rm \scr{P} passant par A et de vecteurs directeurs 3$ \rm \vec{u} et 3$ \rm \vec{w}

Un vecteur normal à 3$ \rm \scr{P} est 3$ \rm \vec{u}\wedge \vec{w}=\(\begin{array}{c}0\\2\\2\end{array}\) donc son équation est 3$ \rm y+z=0

De même le plan 3$ \rm \scr{P'} passant par 3$ \rm B\(3\\2\\0\) et de vecteurs directeurs 3$ \rm \vec{v} et 3$ \rm \vec{w} a pour vecteur normal 3$ \rm \vec{v}\wedge \vec{w}=\(\begin{array}{c}0\\-2\\2\end{array}\)

Son équation est donc 3$ \rm -y+z+2=0

La droite 3$ \rm (\scr{L}) est à l'intersection de ces deux plans : 3$ \rm \fbox{(\scr{L}): \{y+z=0\\-y+z=0}

La distance entre les droites 3$ \rm (\scr{D_1}) et 3$ \rm (\scr{D_2}) correspond à la longueur du segment 3$ \rm [HH'] où 3$ \rm H et l'intersection de 3$ \rm (\scr{L}) et 3$ \rm (\scr{D_1}), et 3$ \rm H' l'intersection de 3$ \rm (\scr{L}) et 3$ \rm (\scr{D_2}).

Ainsi 3$ \rm \{H\}: \{y+z=0\\-y+z+2=0\\2x+y+z=2\\x+y+z=1 d'où 3$ \rm H\(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\)

Et 3$ \rm \{H'\}: \{y+z=0\\-y+z+2=0\\x-y+z=1\\2x-y+z=4  d'où 3$ \rm H'\(\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\)

3$ \rm \fbox{d=HH'=2}

Allez hop au lit, à demain !

Posté par
gui_toure : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 21:59

Ah l'intrus était l'équation de P'

Posté par
gui_toure : Equation de la perpendiculaire commune à deux droites 10-10-07 à 22:00

Bonne nuit (bis)


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