Niveau Reprise d'études

equation differentiel du second ordre

Posté par
svoboda1 23-08-16 à 12:50

Bonjour,

Je dois résoudre l'équation diff. homogène suivante :

y³(x)+3y²(x)+3y¹(x)+y(x)=0

je factorise l'expression par (r+1)³

et je trouve comme solution r=-1

y(x) = C1e^{^-x}+C2xe^-x

Dans la solution donnée dans le livre il vient s'ajouter à la solution le terme C3x²e^-x

Mais je ne vois pas d'ou vient ce terme.. Ou peut-être que je ne peux pas factoriser comme je l'ai fait au début ?? si quelqu'un peut m'éclaircir.Merci

Posté par re : equation differentiel du second ordre 23-08-16 à 13:39

Bonjour,

C'est une équation du troisième ordre.
Le polynôme caractéristique est de degré 3.
Il faut donc bien un terme C₃x²e^-x

Posté par re : equation differentiel du second ordre 23-08-16 à 14:54

Trouvé là: http://denis.monasse.free.fr/livre-html/coursse89.html

Théorème : Soit a₀,…,a_n−1∈K et l'équation différentielle homogène y(n)+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+…+a₀y=0.
On suppose que le polynôme caractéristique χ(X)=Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+…+a₀ est scindé sur K (ce qui est automatique si K=C). Soit λ₁,…,λ_k ses racines distinctes de multiplicités respectives m₁,…,m_k.

.Alors les solutions de l'équation homogène sont exactement les fonctions
t↦ $\sum_{i=1}^{k}{P_i(t)e^{\lambda _it}}$
avec P_i(X)∈K[X] et degP_i≤m_i-1.