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Equation différentielle
Bonsoir, excusez-moi de vous déranger mais je bloque sur un exercice de mathématiques mêlant les équations différentielles, les primitives et les factorielles.
Voici l'énoncé :
Soit n un entier strictement positif et l'équation différentielle :
(En) :y′+y=(xn/n!)*e-x.
1) Soit g et h deux fonctions dérivables sur R telles que, pour tout réel x, g(x) =h(x)e-x.
a) Montrer que g est solution de (En) si, et seulement si,
h′(x)=(xn/n!
b) En déduire une solution particulière de l'équation (En).
2)a) Déterminer la solution générale de l'équation (En).
b) Déterminer la solution f de (En) vérifiant f(0) = 0.
3) On pose, pour tout réelx, f0(x) = e-x
.Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l'équation différentielle
y′+y=fn-1 vérifiant fn(0) = 0.
Montrer par récurrence que, pour tout réel x et tout entier strictement positifn:fn(x) =(xn/n!)e−x.
Pour la première question, j'ai d'abord essayé de calculer la primitive de h'(x) = (xn+1/n!(n+1))
Cependant je me demande s'il faut procéder comme cela ou bien directement calculer la primitive de g'(x)
Bonjour,
1)a)
On part de
-on calcule
-on remplace dans
-on arrive au résultat demandé par équivalences.
Oui, merci beaucoup, j'ai réussi. Cependant, puis-je vous demander de vérifier si mes réponses sont correctes pour les prochaines questions ??
Bonjour,
Mais bien sûr ! Le forum est là pour ça.
Relis quand même la question 3); elle me semble bizarre ...
Et pourriez-vous en priorité, si c'est possible, m'aider pour la question 3 je ne comprends pas comment faire l'hérédité 😭
Merci d'avance
lake
En effet, j'ai mal rédigé voilà l'énoncé
3) On pose, pour tout réelx, f0(x) = e-x
Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l'équation différentielle
y′+y=fn-1 vérifiant fn(0) = 0.
Montrer par récurrence que, pour tout réel x et tout entier strictement positifn: fn(x) =(xn/n!)e-x
3) Finalement rien de bizarre.
Pour l'hérédité :
On suppose que l'équation a pour solution qui s'annule en
pour un certain
non nul fixé.
On veut montrer que l'équation a pour solution qui s'annule en
Tu n'as même pas besoin de l'hypothèse de récurrence :
ce que tu veux montrer est le résultat des questions 1) et 2) de ton exercice.
Et donc la question 3) et sa récurrence est directement en lien avec le résultat de la 2)b).
Qu'as-tu obtenu à cette question ?
lake Veuillez excuser le retard de ma réponse. Donc pour la question 2b j'ai trouvé que la solution vérifiant f(0) = 0 est :
f(x) = C e-x + (xn+1/n+1)*e-x , avec C 
f(0)=0 
C e-0 + (0n+1/n+1)*e-O = 0
C * 1 + 0/(n+1) *1
C + 0*1 = 0
C = 0
Donc la solution vérifiant f(0) = 0 est : (xn+1/n+1)*e-x soit g(x)
Oupss je vous ai répondu trop vite, voici ce que j'ai fait pour la 2b
f(x) = C e-x + (xn+1/(n+1)n!)*e-x , avec C
f(0)=0 C e-0 + (0n+1/(n+1)n!)*e-O = 0
C * 1 + 0/((n+1)n!) *1
C + 0*1 = 0
C = 0
Donc la solution vérifiant f(0) = 0 est : (xn+1/(n+1)n!)*e-x soit g(x)
Tu as donc montré que la solution, qui s'annulait en , de l'équation différentielle :
était la fonction
En 3) l'hypothèse de récurrence est
et l'hérédité consiste à montrer au rang que l'équation différentielle
(1) a pour solution qui s'annule en
la fonction
Avec l'hypothèse de récurrence, s'écrit :
qui est précisément l'équation de la première partie de ton exercice.
On sait, tu viens de l'écrire, que sa solution qui s'annule en est
C'est fini !
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