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Equation différentielle
Bonjour
J'ai un problème avec un détail dans la résolution d'une équation différentielle qui est y' + y = 2 sin (x)
Pour une solution particulière sous la forme d'une combinaison linéaire de cos et sin, j'ai trouvé qu'il devrait s'agir d'une fonction du type y = a cos (x ) + b sin (x) avec comme fonction dérivée :
y' = - sin (x) = b cos (x)
Donc pour la solution particulière pour y' + y = 2 sin (x) j'aboutis à :
( a + b ) cos (x) + ( -a + b ) sin (x) = 2 sin (x)
Par identification des coefficients :
- a + b = a j'en déduit b = 0
- Ensuite, si je fais - a + b = b j'en déduit -a = 0 ce qui doit être faux vu que, connaissant la solution finale je devrais avoir :
y ( x ) = - cos (x ) + sin (x )
Pour obtenir a = -1 il faut que je résolve - a + b = 1 car avec b = 0 j'en déduit a = -1
Ma question est , pourquoi faire une égalité à 1 et non pas à b qui serait plus logique pour une identification des coefficients ?
Merci d'avance à la personne qui me répondra
Bonjour,
Il suffit de reprendre vos calculs :
( a + b ) cos (x) + ( -a + b ) sin (x) = 2 sin (x)
conduit à :
a+b=0 et (b-a)=2 ; cohérent avec -1+1=0 et 1-(-1)=2.
Si a + b = 0 je n'obtiendrai pas la solution que je connais et qui est : - cos ( x ) + sin (x)
Ce que je voudrais pouvoir obtenir est :
- D'une part, a + b = -1
- D'autre part ( -a + b ) = 1
Et je n'y arrive pas quoique je fasse
Bonjour,
en attendant le retour de gts2
d'où sors-tu , en partant de
comme déjà dit,
terme en cos dans le 1er membre= terme en cos dans le 2e membre
terme en sin dans le 1er membre = terme en sin dans le 2e membre
,
il suffit de résoudre
Si (a+b)=-1 et (b-a)=1, cela donne b=0 et a=-1 soit y(x)=-cos(x) qui n'est pas la solution puisque celle-ci est y(x)=-cos(x)+sin(x).
Par contre (a+b)=0 et (b-a)=2 conduit à b=1 et a=-1 soit y(x)=-cos(x)+sin(x) qui est bien solution.
L'équation à résoudre avec identification est bien celle que vous indiquez :
( a + b ) cos (x) + ( -a + b ) sin (x) = 2 sin (x)
ou plus explicitement :
( a + b ) cos (x) + ( -a + b ) sin (x) = 0 cos(x) + 2 sin (x)
Bonjour Pirho et merci à toi pour m'avoir répondu
La solution finale que je connais est : f ( x ) = - cos ( x ) + sin (x )
Donc par identification des coefficients je devrais avoir a + b = - 1 pour le coefficient du terme en cosinus et 1 pour le terme en sinus
je ne comprends pas "Donc par identification des coefficients je devrais avoir a + b = - 1 pour le coefficient du terme en cosinus et 1 pour le terme en sinus"
eh ben non! a+b=0, je répète que pour trouver les valeurs de a et b, il suffit de résoudre le système
La solution finale que je connais est : f ( x ) = - cos ( x ) + sin (x ). Donc par identification des coefficients je devrais avoir a + b = - 1.
Vous avez posé f(x) = a cos (x ) + b sin (x)
Donc, si vous identifiez, cela donne a=-1 et b=1
J'ai l'impression que vous confondez f(x) avec f'(x)+f(x) qui vaut 2 sin(x)
A l'attention de Pirho
Oui, OK je suis d'accord et on retombe sur ce que m'avait dit gts2 à savoir que le terme ( a + b ) du cosinus est égal à 0 et le terme
(- a + b) du sinus est égal à 2
Merci à toi
Bonne fin de week-end
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