Niveau Maths sup

Equation Différentielle avec changement de variable

Posté par bstar (invité) 23-01-05 à 17:43

Bonjour,

Est ce que qq'un pourrait m'aider à résoudre cette equation différentielle ?

En posant $t=arctan x$ résoudre :

$y''(x)+\frac{2x}{1+x^2}y'(x)+\frac{1}{(1+x^2)^2}=0$

Avec mes remerciements

Posté par re : Equation Différentielle avec changement de variable 23-01-05 à 19:31

x = tg(t)
dx/dt = 1/cos(t)^2 donc dt/dx = (cos(t))^2
y' = dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (dy/dt)(cos(t))^2
y'' = d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = (d(dy/dx)/dt)(dt/dx)
d(dy/dx)/dt = d((dy/dt)(cos(t))^2)/dt
d(dy/dx)/dt = (d^2y/dt^2)(cos(t))^2)-2(dy/dt)cos(t)sin(t)
d^2y/dx^2 = (d^2y/dt^2)(cos(t)^4)-2(dy/dt)(cos(t)^3)sin(t)
1+x^2 = 1+(tg(t))^2 = 1/(cos(t)^2)
2x/(1+x^2) = 2sin(t)cos(t)
En reportant ces expressions de y, y', y'' etc. dans l'équation :
(d^2y/dt^2)(cos(t)^4) - 2(cos(x)^3)sin(x)(dy/dt) +2(cos(x)^3)sin(x)(dy/dt) + (cos(t)^4) = 0
(d^2y/dt^2)(cos(t)^4) + (cos(t)^4) = 0
(d^2y/dt^2) +1 = 0
y'' +1 = 0 (avec maintenant la dérivée seconde de y par rapport à t et non pas pas rapport à x comme au début)
La résolution donne y(t)
Il faut ensuite remplacer t par arctg(x) pour obtenir y(x).

Posté par bstar (invité)re : Equation Différentielle avec changement de variable 23-01-05 à 22:01

Bonsoir, je te remercie beaucoup

J'ai une petite question.
Je ne vois pas quand tu reportes les expressions dans l'equation, comment tu trouves que (2x)/(1+x^2)y'(x) est égal a 2(cos(x)^3)sin(x)(dy/dt)
Pourrais tu m'éclairer ..?

Avec mes remerciements

Posté par re : Equation Différentielle avec changement de variable 24-01-05 à 07:21

on a vu que :
y' = dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (dy/dt)(cos(t))^2
2x/(1+x^2) = 2sin(t)cos(t)
le produit des deux donne :
(2x/(1+x^2))y' = 2sin(t)cos(t)(dy/dt)(cos(t))^2
= 2sin(t))((cos(t))^3)(dy/dt)

Posté par bstar (invité)re : Equation Différentielle avec changement de variable 24-01-05 à 22:37

Bonjour merci pour ton aide.
N'y aurait il pas une erreur:
Tu as mis que $\frac{1}{(1+x^2)^2}y(x)=cos^4t$
Ne serais ce pas plutot $\frac{1}{(1+x^2)^2}y(x)=cos^4ty$ ?

Merci beaucoup

Posté par bstar (invité)re : Equation Différentielle avec changement de variable 24-01-05 à 22:47

J'aurais une autre petite question:

Je vois pourquoi $\frac{1}{1+x^2}=cos^2t$ mais je ne comprends pas pourquoi $\frac{2x}{1+x^2}=2sintcost$

Merci beaucoup

Posté par re : Equation Différentielle avec changement de variable 25-01-05 à 07:24

1+x^2 = 1+(tg(t))^2 = 1/(cos(t)^2)
1/(1+x^2) = cos(t)^2
2x = 2tg(t) = 2sin(t)/cos(t)
2x/(1-x^2) = (cos(t)^2)(2sin(t)/cos(t))
2x/(1-x^2) = 2sin(t)cos(t)