Niveau Reprise d'études

Equation diophantienne

Posté par
Milka3 12-02-21 à 14:22

Bonjour,
je travaille ce jour sur ces équations. J'ai un théorème que me dit que les solutions sont de la forme $(u_0+kb';v_0-ka')$ où $(u_0;v_0)$ est une solution particulière.

J'essaye de l'appliquer pour résoudre l'équation suivante : 5x+2y=3, dans Z.

Une solution particulière est $(u_0;v_0)=(1;-1)$ .

5 et 2 étant premier entre eux, a'=a=5 et b'=b=2.

D'où les solutions sont $(u_0+kb';v_0+ka')=(1+2k;-1-5k)$ pour k dans Z.

Ma correction propose $(-3-2k;9+5k)$ , sont-ce les mêmes solutions ?
Je pense que oui, mais je n'arrive pas à me convaincre !
Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

Posté par re : Equation diophantienne 12-02-21 à 14:40

Bonjour,

Dans la solution qu'on te propose, tu peux poser $k'=-k-2$ avec $k'\in \mathbb{Z}$ .

Posté par re : Equation diophantienne 12-02-21 à 14:41

Plutôt dans ta solution d'ailleurs.

Posté par re : Equation diophantienne 12-02-21 à 17:04

Merci beaucoup !

Posté par re : Equation diophantienne 12-02-21 à 17:16

De rien, et le changement de variable est "réversible"

Posté par re : Equation diophantienne 12-02-21 à 20:35

salut
sinon tu pouvais aussi faire avec les congruences

5 = 1[2]  --> 5x = x[2]       on a aussi 2=0[2]  alors  2y =0[2]
en additionnant les expressions en gras il vient  2x+2y=x[2]  soit  3=x[2] ou encor
x = 1[2]       pour y je te laisse voir