, mais tu as compris c'est le principal 
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Equation diophantienne (Infophile si tu es là)...
Posté par benitoelputoamo
Bonjour, Mathîliens et Mathîliennes,
Voila, il y a quelques temps, j'ai appris comment résoudre une équation diophantienne de la forme a*u + m*v = x, grace à Infophile
, à l'occasion de l'énigme des Orchidées (
Les orchidées). Mais la j'ai un petit problème. J'essaye de résoudre :
3x + 4y = 5
J'isole l'inconnue dont le facteur est le plus petit (toujours grace à la méthode d'Infophile)
On appelle l'expression
donc :
Je remplace y :
Là, je bloque... Dans l'énigme, on savait que x et y devaient etre positifs, mais là! Ils ne sont pas forcément positifs! Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver les différentes valeurs de x et de y?
Merci d'avance!
(Saint)Benoit
Posté par ptitjean (invité)re : Equation diophantienne (Infophile si tu es là)...
salut,
en tracant la droite y=(5-3x)/4 dans un plan, tu t'apercois que pour x et y positifs et appartenant à R, il y a une infinité de solutions
je vois pas trop ce qu'on peut conclure d'autre...
ptitjean
C'est bon j'ai compris... Dans l'énigme, on ne peut pas acheter un nombre négatif d'orchidées donc x et y > 0. Mais là,
Ou t est un entier relatif : il existe donc bien une infinité de solutions...
Posté par Shadyfj (invité)re : Equation diophantienne (Infophile si tu es là)...
3 et 4 sont premiers entre eux
On a -1*3 + 4*1 = 1
donc -5*3 + 4*5 = 5
On a donc un couple de solution (-5,5)
Les solutions sont donc de la forme (-5-4k,5+3k) k€Z (Théorème de Bezout)
Preuve: Soit x,y une solution
On a 3x + 4y = 5
Et -5*3 + 5*4 = 5
<=> 3(x+5) + 4(y-5) =0
Donc 3 divise y-5 et 4 divise x+5
y-5=3k k€Z et x+5=-4k k€Z
y=3k+5 x=-4k-5
Bonsoir,
...Je suis en 3eme, je ne comprends pas tout ce que tu m'a dit Shadyfj, mais moi, grace a la methode de Leonhard Euler, je trouve que les solutions sont :
Posté par Shadyfj (invité)re : Equation diophantienne (Infophile si tu es là)...
C'est la même chose c'est bon. Et je pensais pas que tu étais en 3ème dsl.
Et voilà, une star de plus sur l'île des maths...
"Infophile si tu es là" est tout de même plus élégant que "JE VEUX PHILOUX S'IL EST LA IL DOIT ME REPONDRE" qu'on a vu il y a quelques temps sur le forum collège 