Bonjour, une idée comme ça c'est de multiplier par c^ parce que ça donne c^(a^x)=c^c (c.x)a-(c.a)x=0 (c.x)a=0 c.x=0

Et pour l'autre : d^(b^x)=d^d (d.x)b-(d.b)x=0 d.x=0

Si x est à la fois perpendiculaire à c et à d alors il est colinéaire à c^d mais ça n'est pas vraiment compatible avec les solutions que tu as déjà trouvé, donc ça me laisse perplexe.

Bonjour,

Je te remercie pour ton aide.

En fait, les solutions de l'équations (1) et (2) sont bonnes puisque l'énoncé me demandait de les démontrer (elles étaient préciser par l'énoncé).

L'énoncé que je n'arruve pas à résoudre le suivant :

Soient quatre vecteurs a, b, c et d tel que a.c=0 et b.d=0
Montrer que : a.d + b.c = 0 => il existe un unique x tel que a^x=c et tel que b^x=d.

salut

a.d + b.c = 0 <==> a.d + a.c + b.c + b.d = 0 <==> (a + b).(c + d) = 0 <==> a + b et c + d sont orthogonaux

or

a^x = c
b^x = d

donc (a + b)^x = c + d

et on sait alors que cette équation admet l'unique solution   x = (c + d)^(a + b) enfin à un coefficient près suivant les normes ...


ce me semble-t-il ...

peut-être pas cette solution là .... ni l'unicité

si c = a^x alors c est orthogonal au plan vectoriel (a,x) ce qui implique donc que a.c = 0 qui est une condition nécessaire pour avoir une solution ....


(a+b,x,b+d) forment une base orthogonale ....

Bonjour.

Si  a=b et c=d, il est clair que   a.d+b.c=0  et  que le système (1) et (2) a une infinité de solutions. Donc, la réciproque demandée par jahvik est fausse.

Il manque donc dans l'énoncé une condition pour assurer l'équivalence. Cette condition est la suivante: (a,b) doit former une famille libre.

Voici une indication pour la démonstration:
l'ensemble des solutions de (1) est une droite affine passant par x1, dirigée par a,
l'ensemble des solutions de (2) est une droite affine passant par x2, dirigée par b,
l'intersection de ces deux droites est un point si et seulement si elles ne sont pas coplanaires (sachant qu'elles ne sont pas parallèles) donc si et seulement si    det(x1-x2,a,b)=0

Bonjour,

Merci à vous tous pour vos contributions? J'apprécie vraiment votre aide !

Concernant la solution de perroquet, j'ai du mal à saisir pourquoi l'ensemble des solutions de (1) est une droite affine passant par x1, dirigée par a.
Par contre, j'arrive à comprendre que les solutions de (1) appartiennent au plan formé par les vecteurs a et x1.
Idem, pour (2) dont les solutions appartiennent au plan formé par les vecteurs b et x2.

Enfin, je pensais que l'intersection des deux droites est un point justement si elles sont coplanaires.

Donc quelques hésitations dans ma réflexion !

La droite passant par x1 dirigée par a est l'ensemble  {x1+a   , décrivant }.
Il y avait en effet une erreur dans ma solution. Il faut évidemment remplacer
"ne sont pas coplanaires"
par
"sont coplanares"

Pour résumer, voici ce que j'obtiens :

(1) a ^ x = c  implique que : x = λ a + x1 tel que x1 = (c ^ a)/||a||²

(2) b ^ x = d  implique que : x = µ b + x2 tel que x2 = (d ^ b)/||b||²

(1) et (2) admet une unique solution si :

λ a + x1 = µ b + x2    càd si    λ a - µ b + (x2 - x1) = 0 (3)

J'ai tenté de résoudre (3) en utilisant les coordonnées cartésiennes, mais ça donne 3 équations très lourdes dont le résultat est incompréhensible (pareil quand j'ai voulu expliciter le déterminant proposé par perroquet)

J'ai tenté de trouver λ et µ en multipliant (3) par c et par (d) pour me ramener à deux équations scalaires, mais la solution est trop compliquée pour que ce soit celle-ci.
Et naturellement, je n'arrive toujours pas à savoir quand utiliser la relation a.d + b.c = 0.

Donc je sèche !

On en déduit ensuite le résultat

Alors là, merci beaucoup perroquet pour cette aide. Le produit mixte, je n'y aurais jamais pensé seul...

C'est une super solution que tu m'as proposé, merci encore pour ta précieuse aide !

Et merci aux autres contributeurs de s'être penchés sur la question !

Le sujet est donc résolu