Equation du type ax+by=cxy

 Niveau Licence Maths 1e annPartager :
			        
Equation du type ax+by=cxy
Posté par 
amickael  06-12-12 à 14:13
Bonjour,

Ma question est contenue dans le titre, c'est-à-dire est-ce qu'il existe des entiers naturels x,y non nuls tels que ax+by=cxy avec a,b,c aussi des entiers naturels non nuls ?

Merci par avance ^^
 Posté par 
greenre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 14:46
si a=1, b=1 c=2, x=y=1
 Posté par 
amickaelre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 14:51
Oui, mais est-ce qu'il n'existe pas une formule générale (ou une méthode) pour n'importe quelle valeurs de a,b,c fixés donnés
 Posté par 
greenre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 14:57

donc tout les couples  avec  et  satisfont l'équation !!
 Posté par 
greenre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 14:58
errata:

tout les couples de la forme 
 Posté par 
amickaelre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 15:01
Mais cy-a ne divise pas forcément by et comme mes solutions doivent être entières, c'est là ou je bloque... J'ai pas l'impression qu'il y ait de manière générale de faire ca 
 Posté par 
alainpaulre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 15:10
Bonjour,

Il me semble intéressant d'écrire: 

a,b,c entiers ...

Alain
 Posté par 
amickaelre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 15:17
Ok donc faut que y soit un diviseur de a et x diviseur de b et que la somme des diviseurs fasse c.

Et après pas d'autres solutions j'imagine ^^

Mais c'est déjà pas mal, merci !
 Posté par 
alainpaulre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 15:32
Well,

Si a ne divise pas y', b ne divise x'

il nous faut considérer le cas:

Alain
 Posté par 
amickaelre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 17:38
Effectivement j'ai pas pensé à ce cas là ^^

Par exemple, pour 169/x + 45/y = 11 j'ai trouvé la solution x=26 et y=10, mais là je vois pas de méthode pour avoir ces résultats autre qu'un programme informatique...
 Posté par 
alainpaulre : Equation du type ax+by=cxy  06-12-12 à 20:09
Bonsoir,

C'est à creuser :

Je me donne un exemple:

... 

alain
 Posté par 
docmanre : Equation du type ax+by=cxy  31-01-14 à 10:47

bonjour, j'ai presque la meme equation et je voudrai savoir avec quel logiciel vous avez trouvé ces resultats, l'equation que j'ai est: 0.32x+0.41y-1.09xy=0 et je cherche la valeur de x et y, merci a l'avance
 Posté par 
mathafou re : Equation du type ax+by=cxy  31-01-14 à 11:10
Bonjour,

déja "avec a,b,c aussi des entiers naturels non nuls" n'est pas respectée..

bon, qu'à cela ne tienne :

32x + 41y - 109xy = 0 ou pour remettre ça dans l'ordre des puissances décroissantes : 

109xy - 32x - 41 = 0

Sans se fouler, en rentrant ça dans le Alpertron  avec la case "step by step" cochée on obtient essentiellement la méthode de résolution :

Multiplying by 109 we obtain:

 11881 xy - 3488 x - 4469 y = 0

Adding 1312 to both sides of the equal sign:

 11881 xy - 3488 x - 4469 y + 1312 = 1312

Now the left side can be factored as follows:

( 109 x - 41) ( 109 y - 32) = 1312

Then  109 x - 41 must be a factor of 1312, so we must find the factors of 1312:

etc ..

et à la fin le résultat :

la seule solution est x = 0, y = 0

bien entendu en rentrant ça dans n'importe quel logiciel de calcul formel on a le même résultat, mais sans la méthode expliquée pas à pas 

la méthode peut être généralisée aux équations de la forme axy + bx + cy = d

en multipliant par a et en factorisant 

(ax + c)(ay + b) = d - bc

et donc le problème se ramène à chercher les diviseurs de d - bc

et pour chacun de ses diviseurs q, q' avec qq' = d - bc,

à tester si ax + c = q et ay+ b = q' ont des solutions en nombre entier

c'est à dire si a divise q - c et q' - b

le lien "Methods" de l'Alpertron est une mine de renseignements pour toutes les équations"quadratiques" c'est à dire de la forme

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
 Posté par 
mathafou re : Equation du type ax+by=cxy  31-01-14 à 11:12
errata : ad - bc bien entendu
  Posté par 
mathafou re : Equation du type ax+by=cxy  31-01-14 à 11:13
errata de l'errata : ad + bc