A]1)

f(x)=u
0.5(e(x)-e(-x))=u
e(x)-e(-x)=2u
on multiplie par e(x) qui est non nul:
e(x)²-1=2ue(x)
e(2x)-1-2ue(x)=0
e(2x)-2ue(x)-1=0

en deduire que l équation f(x)=   a une unique solution
dans R et determiner sa valeur en fonction de    


on pose X=e(x) (X est donc positif a retenir!!!)
f(x)=u devient
X²-2uX-1=0
delta=4u²+4
X1=2u+rac(4u²+4) / 2
X2=2u-rac(4u²+4) / 2

seule la solution positive nous intéresse (voir remarque) donc l'unique
solutiion est
X=(2u+rac(4u²+4))/2 qui se simplifie X=u+rac(u²+1)

2)a)  en + inf e(x) tends vers +inf
e(-x) tends vers 0 donc f(x) tends vers + inf
en -inf e(x) tends vers0
e(-x) tends vers +inf donc f(x) tends vers - inf (a cause du signe - dans
f(x)...)  

b)calculer f'(x) pour tout nombre réel x et  en deduire  le sens
de variation de f sur R
f'(x)=0.5(e(x)+e(-x))>0 car e() est toujours positive donc f croit sur R

3) a)  determiner une equation de la tangente T à la courbe C au
point d abscisse 0
l'equation d'une tangente au point (X0,Y0) est
y-Y0=f'(X)(x-X0)
au point(0,0) f'(0)=0.5(1+1)=0.5*2=1
y-0=1*(X-0)
y=x est l'equation cherchée.

b)
d(x)=0.5(e(x)-e(-x))-x
tu etudie d'(x)=0.5(e(x)+e(-x))-1
quand tu as le signe de d tu as la position de f par rapport à x


c) a toi l'honneur

4) Par différence:
D=-int(0 à 1)f(x)dx+int(0 à 1)x d(x)
D=-[0.5 (e(x)+e(-x))]+[x²/2] entre 0 et 1
D=-0.5(e+1/e)+0.5*2+1/2-0
D=-0.5(e+1/e)+3/2

c'est soi cela soit l'opposé (ca dépend si f est dessous y=x ou dessus
mais j'ai pas le dessin!!)

A verifier biensur;
A+

merci bcp
g tout réussi sauf la 3b , et je n arrive pas à etudier le signe  


merci ken mém

merci bcp pour la partie A , mais la B est bcp plus complexes




on cherche à caractériser les fonctionsg , dérivables sur R telles que
pour tout réel x :

g(x) - integrale de 0 à x de (x-t)g(t)dt  = x       (equation H)

1 on suppose qu il existe une telle fonction g
a////// montrer que pour tout nombre réel x ,

g(x)  = x   +    x  que multiplie l'integrale de 0 à x de g(t)dt
-   l'intégrale de 0 à x de tg(t)dt

calculer g(0)


b////// démontrer que pour tout nombre réel x,    
g'(x)= 1  +  intégrale de 0 à x de g(t)dt

calculer  g'(0)

c///////

vérifier que g"(x) - g(x) = 0
on admet que g(x) =  ae^x  +  be^(-x)
determiner les réels a et b.


2//// a////
A l'aide d'une intégration par parties , calculer :

l'intégrale de 0 à x de t que multiplie (e^t-e^(-t)) dt

b/////
démontrer que la fonction trouvée à la question 1.c  vérifie bien la relation
  (H).




** message déplacé **

si g verifie l'equation: (je met les bornes entre accolades,
quand il y a des crochets c'est la primitive, tu sais pris entre
les deux bornes...)
g(x)-int{0,x}(x-t)g(t)dt=x
ca donne
g(x)=x+int{0,x}(x-t)g(t)dt
on coupe l'intagrale en deux
g(x)=x+int{0,x}xg(t)dt-int{0,x}tg(t)dt
dans la première intégrale comme on integre sur la variable t (c'est
bien dt qui est ecrit) on peut sortir le x:
g(x)=x+xint{0,x}g(t)dt-int{0,x}tg(t)dt

on fait x=0
g(0)=0+0*int{0,0}-int{0,0}=0

si g existe g est derivable alors
on derive membre a membre:
g'(x)=1+int{0,x}g(t)dt+xg(x)-xg(x)=1+int{0,x}g(t)dt
(faut connaitre la derivée d'une intégrale..)

idem:
g'(0)=1+int{0,0}=1 (toujours pareil les bornes sont égales donc int=0)

on rederive la dernière egalité:
g''(x)=g(x) donc g''(x)-g(x)=0

on suppose g(x)=ae(x)+be(-x)
g'(x)=ae(x)-be(-x)
g(0)=0 donne a+b=0
g'(0)=1 donne a-b=1

ca donne 2a=1 donc a=1/2 puis b=-a=-1/2

int{0,x}t(e(t)-e(-t)dt
on derive le t on integre le reste

=[t²/2e(t)+e(-t)]-int{0,x}(e(t)+e(-t))dt
=x/2(e(x)+e(-x))-[e(t)-e(-t)]
=x/2e(x)+x/2e(-x)-e(x)+e(-x)
=(x/2-1)e(x)+(x/2+1)e(-x)

avec g(x)=1/2(e(x)-e(-x))

g(x)+int{0,x}(x-t)g(t)dt=
1/2(e(x)-e(-x))+xint{0,x}g(t)-int{0,x}tg(t)=
la deuxième intégrale c'est celle qu'on vient de calculer!
la premiere est simple, faut pas oublier le x qu'il y a devant
=1/2(e(x)-e(-x))+x[1/2 (e(t)+e(-t))]-(x/2-1)e(x)+(x/2+1)e(-x)
=1/2(e(x)-e(-x))+x/2 (e(x)+e(-x))+x-(x/2-1)e(x)+(x/2+1)e(-x)
=x

H est verifie!!

voila
Je sui désolé j'ai faut une erreur de calcul, il y a un 1/2 qui
manque qqpart.(je crois que  je me suis trompé dans l'IPP)
Mais si tu relis tout calmement tu sauras ou est l'erreur.
En tout cas tu as toute la trame
A+

merci bcp pr votre aide , mais je n arrive pas à faire la question
3b avec le sens de varaition de la fonction et la position par rapport
a la courbe
merci bcp , ce n est plus long maintenant lol

** message déplacé **

la question 3b de la partie A svp , je n arrive pas à etudier le
signe de la fonction , et de la dérivée pour en deduire la position
de la courbe

** message déplacé **

la question 3b de la partie A svp , je n arrive pas à etudier le
signe de la fonction , et de la dérivée pour en deduire la position
de la courbe

** message déplacé **

f(x) - x = 0.5(e(x)-e(-x))-x

g(x) =  0.5(e(x)-e(-x))-x
g(x) = -g(-x) -> g(x) est impaire.

g'(x) =  0.5(e(x)+e(-x))-1
g'(x) = ch(x) - 1

g '(x) = 0 pour x = 0
g '(x) > 0 pour x dans R* -> g(x) est croissante.
g(0) = 0,5(1 - 1) - 0 = 0

->
g(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[
g(x) = 0 pour x = 0
g(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[

et donc
f(x) - x < 0 pour x dans ]-oo ; 0[  -> C est en dessous de T
f(x) - x = 0 pour x = 0    -> C et T coïncident
f(x) - x > 0 pour x dans ]0 ; oo[  -> C est au dessus de T
-----
Sauf distraction.    

c ce ke javé mis mais ca me paraissait byzar , car la fonction n
est pas strictement croissante
enfin bon , merci bcp

je pense qu il y a une erreur à la partie B

la kestion 2.a

" int{0,x}t(e(t)-e(-t)dt
on derive le t on integre le reste

=[t²/2e(t)+e(-t)]-int{0,x}(e(t)+e(-t))dt
=x/2(e(x)+e(-x))-[e(t)-e(-t)]
=x/2e(x)+x/2e(-x)-e(x)+e(-x)
=(x/2-1)e(x)+(x/2+1)e(-x)     "

si on derive t , comment obtenez vous t²/2 ??????

pouvez vous me dire si il s agit d une erreur ou non
merci bcp


et de cee fait , ke change la modification eventuelle à la question
  2.b






a la question 1.b  , demontrez que g'(x)= 1  + int de 0 à x de
G(t)dt


comment peut on repondre si on ne connait pas la dérivée d une primitive
, qui ne doit pas etre au programme de ts.
pouvez vous m expliquer rapidement ou me donner la formule de la dérivée
d une primitive  svp
merci bcp



** message déplacé **

Il manque une parenthèse dans l'expression de départ -> risque
d'erreur.

Si c'est :  S(0,x) [t(e^t - e^(-t))].dt

on trouve
S [t(e^t - e^(-t))].dt = e^t.(t-1) + e^(-t).(t+1)

et donc:
S(0,x) [t(e^t - e^(-t))].dt = e^x.(x-1) + e^(-x).(x+1) - e^0.(-1) - e^(0)
S(0,x) [t(e^t - e^(-t))].dt = e^x.(x-1) + e^(-x).(x+1) + 1 - 1
S(0,x) [t(e^t - e^(-t))].dt = e^x.(x-1) + e^(-x).(x+1)
-----
Sauf distraction.  Vérifie.    

et cela donne koi svp a la kestion  2b ?

** message déplacé **