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Équation fonctionnelle dans Q
Posté par Maesan
Bonjour à tous et merci de me lire.
En fait j'essaye de traiter des exercices de mathématiques MPSI4.
Je suis au chapitre « arithmétique » et je suis tombée sur un exercice du concours de l'ENS de Lyon que voici:
Déterminer toutes les applications N de Q dans R+ telles que (i)N(x)=0
x=0 ;
(ii) ∀(x,y)∈Q^2, N(x+y)⩽N(x)+N(y) ;
(iii) ∀(x,y) ∈ Q^2, N(xy) = N(x)N(y);
(iv) ∃n∈N, N(n)>1 .
Et dans le livre en question il y'avait les indications suivantes:
Justifier que les N(p), pour p premier, déterminent entièrement N. Montrer que si N convient, x ↦ bxN(x) aussi, si 0 < b < 1. Montrer qu'on ne peut pas avoir N(p) < 1 < N(q) pour deux entiers premiers distincts : on pourra pour cela exprimer une certaine quantité tendant vers l'infini en fonction de puissances de p. En déduire que N (p) = N (q).
Réponse: x
xa avec 0<a
1
J'ai deux soucis avec cet exercice
1-Les indications
Pour commencer je n'ai pas eu de problèmes à montrer que les N(p) pour p premier déterminent N j'ai juste utilisé le fait que si n est dans N tout entier peut se décomposer en factions premiers et la propriété de multiplicativite de N nous permet d'avoir N(n) quand on a N(pi) avec les pi les facteurs dans n. Si n est dans Q n peut s'écrire comme p/q. J'ai juste montrer que N(1/q)=1/N(q) puis tout sortait simplement.
La deuxième partie de l'indication avec la fonction x ↦ bxN(x) , je ne suis pas très d'accord à mon humble avis, il s'agit de xbN(x). Qu'en dites vous svp?
Concernant N(p)<1<N(p), je n'ai vraiment rien trouvé depuis 2 jours j'y réfléchis si vous pouviez m'aider svp?
Et enfin la déduction N(p)=N(q), déjà je n'ai pas pu la faire mais je pense que ça ne vérifie pas le N de la réponse car c'est comme dire que puisque 2 et 3 sont premiers, alors 2a=3a pour tout a pris dans ]0,1] donc à mon humble avis ce n'était pas la déduction à faire.
2-L'intuition derrière l'exercice
Déjà même en démontrant les indications je ne sais pas en quoi je pourrais conclure que la fonction en question est la fonction puissance
Ensuite mon soucis est qu'est ce qui pourrait nous amener à penser à toutes ces indications. C'est à dire qu'elle est l'intuition derrière tout ça svp?
Si on donne un tel exercice, qu'est ce qui peut m'amener à remarquer que les xbN(x) sont solutions si N l'est?
J'ai essayé de lire quelques cours sur les équations fonctionnelles mais le cas de cet exercice en particulier me dérange.
Merci beaucoup de l'aide
Sylvieg @ 02-07-2023 à 10:27
Bonjour,
J'ai un doute sur x ↦ bxN(x) dans les indications.
Une coquille ?
Bonjour,
J'ai un doute sur x ↦ bxN(x) dans les indications.
Une coquille ?
J'ai justement signalé cela dans mes soucis de l'exercice
Oui je pense aussi qu'il devrait y avoir des valeurs absolues si non il faudrait peur etre Q+ au lieu de Q.
Mais puisque l'énoncé parle de Q vers R+ ça devrait etre la valeur absolue je pense bien
Mon soucis est que je ne sais pas où je vais en respectant des indications. Ni comment j'aurais pu aborder l'exercice sans ces indications car je ne sais ce qui pourrait nous amener à montrer que les N(p)<1<N(q) pour p et q premiers ni comment le faire? Et à mon avis cela n'implique pas que N(p)=N(q) car si non c'est comme dire que puisque 2 et 3 sont premiers, alors 2a=3a pour tout a pris dans ]0,1] donc à mon humble avis ce n'était pas la déduction à faire
salut
de (iii) on déduit que N(1 * 1) = N(1) * N(1) <=> N(1) = N(1)2
de (i) on déduit donc que N(1) = 1
de (iii) on déduit que N(p) = N(p/q * q) = N(p/q) * N(q) donc N(p/q) = N(p)/N(q)
donc p < q => N(p) < N(q)
donc p/q < 1 => N(p/q) < 1
or il n'y a pas d'entier entre 0 et 1 donc on ne peut avoir N(p) < 1
Les propriétés (i), (iii) et (iv) disent que restreint à
est un homomorphisme non trivial du groupe multiplicatif
dans le groupe multiplicatif
. Il est donc entièrement déterminé par sa valeur sur les nombre premiers.
Après, il reste à voir que la condition (ii) impose que cette valeur est de la forme avec le même réel
strictement compris entre 0 et 1 pour tous les premiers
.
GBZM @ 02-07-2023 à 11:51
Les propriétés (i), (iii) et (iv) disent que
restreint à 
est un homomorphisme non trivial du groupe multiplicatif )
dans le groupe multiplicatif )
. Il est donc entièrement déterminé par sa valeur sur les nombre premiers.
Après, il reste à voir que la condition (ii) impose que cette valeur est de la forme = p^a)
avec le même réel 
strictement compris entre 0 et 1 pour tous les premiers 
.
s'il vous plait pourquoi la condition ii implique cela?Les propriétés (i), (iii) et (iv) disent que
Après, il reste à voir que la condition (ii) impose que cette valeur est de la forme
carpediem @ 02-07-2023 à 11:31
donc p < q => N(p) < N(q)
donc p/q < 1 => N(p/q) < 1
or il n'y a pas d'entier entre 0 et 1 donc on ne peut avoir N(p) < 1
donc p < q => N(p) < N(q)
donc p/q < 1 => N(p/q) < 1
or il n'y a pas d'entier entre 0 et 1 donc on ne peut avoir N(p) < 1
S'il vous plait à partir d'ici je ne comprends plus
Déjà, je veux réparer une inexactitude dans ce que j'ai écrit plus haut : c'est (il est clair que la valeur absolue ordinaire satisfait les conditions).
Ensuite, voila des indications plus correctes :
Soit un entier
tel que
. Soit
un autre entier
. En décomposant
dans la base
et en utilisant la propriété (ii), établir une majoration de
faisant intervenir
. En déduire, en faisant tendre
vers l'infini,
.
Déduire de là que pour tout entier ,
. Conclure.
Le résultat que cet exercice demande de démontrer est une partie du théorème d'Ostrowski, un résultat non trivial.
S'il vous plaît je ne comprends pas . Qu'est ce qu'on cherche exactement avec ces indications ?
Sans ces indications comment se construit le raisonnement svp?
On cherche à montrer qu'il existe un réel tel que
et que
pour tout
.
Il suffit de le montrer pour tout entier , et pour cela il suffit de montrer que le réel
est indépendant de l'entier
et dans ]0,1].
Qu'est ce qui guide à penser que cet entier a existe? C'est à dire sans l'indication qu'est ce qui fait penser à ce raisonnement?svp
GBZM @ 02-07-2023 à 14:38
Déjà, je veux réparer une inexactitude dans ce que j'ai écrit plus haut : c'est
(il est clair que la valeur absolue ordinaire satisfait les conditions).
Ensuite, voila des indications plus correctes :
Soit
un entier 
tel que >1)
. Soit 
un autre entier . En décomposant 
dans la base et en utilisant la propriété (ii), établir une majoration de )
faisant intervenir )
. En déduire, en faisant tendre 
vers l'infini, \leq \max(1, N(m)^{\log_m(n)}))
.
Déduire de là que pour tout entier
, )=\log_2(N(2)))
. Conclure.
Le résultat que cet exercice demande de démontrer est une partie du théorème d'Ostrowski, un résultat non trivial.
Déjà, je veux réparer une inexactitude dans ce que j'ai écrit plus haut : c'est
Ensuite, voila des indications plus correctes :
Soit
Déduire de là que pour tout entier
Le résultat que cet exercice demande de démontrer est une partie du théorème d'Ostrowski, un résultat non trivial.
Je ne comprends vraiment pas svp j'ai beau essayé mais c'est pas très clair
Ça ne sert à rien de recopier ce que j'ai écrit en disant "je ne comprends pas". Ça ne fait qu'alourdir le fil.
Il n'est pas évident que les applications vérifiant les propriétés demandées sont les
où
.
On peut commencer par montrer que ces applications vérifient bien les propriétés (i) à (iv). Ensuite, on se propose de montrer que ce sont les seules.
On commence par remarquer qu'il suffit de le faire pour les entiers ; il suffit même de le faire pour les premiers, mais ça n'apporte rien de plus.
Montrer qu'il existe un réel tel que
pour tout entier
revient à montrer que
ne dépend pas de
(rappel :
).
Je t'ai indiqué plus haut la démarche qu'on peut suivre pour faire ça . À toi de jouer.