GBZM @ 02-07-2023 à 14:38Déjà, je veux réparer une inexactitude dans ce que j'ai écrit plus haut : c'est

(il est clair que la valeur absolue ordinaire satisfait les conditions).
Ensuite, voila des indications plus correctes :
Soit

un entier

tel que
>1)
. Soit

un autre entier

. En décomposant

dans la base

et en utilisant la propriété (ii), établir une majoration de
)
faisant intervenir
)
. En déduire, en faisant tendre

vers l'infini,
\leq \max(1, N(m)^{\log_m(n)}))
.
Déduire de là que pour tout entier

,
)=\log_2(N(2)))
. Conclure.
Le résultat que cet exercice demande de démontrer est une partie du théorème d'Ostrowski, un résultat non trivial.