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[équation] fonctions hyperboliques

Posté par
maths-rix 27-09-07 à 19:21

bonjour !

pouvez vous m'éclairer pour cet exo s'il vous plais !

je dois résoudre 5$arcsin(x) + arcsin(x\sqrt{3}) = \frac{pi}{2}

je procède comme il suit :

5$arcsin(x) = \frac{pi}{2}-arcsin(x\sqrt{3})

comme 5$arcsin(x) + arccos(x) = \frac{pi}{2} 5$arcsin(x)= \frac{pi}{2} - arccos(x)= arccos(x)

5$arcsin(x) = arccos(x\sqrt{3})

5$sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x\sqrt{3})

5$x = sin(arccos(x\sqrt{3})

5$x = \sqrt{1-(x\sqrt{3})^2} 5$x^2 = 1-(x\sqrt{3})^2 5$x^2 = 1-3x^2

je sais que je ne suis plus sur le bon chemin !

J'ai déjà résolu cet exo en trouvant x = \frac{1}{2} mais là je n'y arrive plus

Merci !

Posté par
raymond Correcteur[équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 19:38

Bonsoir.

Tu as terminé : x² = 1 - 3x² <==> 4x² = 1 <==> x = -1/2 ou x = 1/2.

Au fait, ton titre mentionnait fonctions hyperboliques. (?)

A plus RR.

Posté par
maths-rixre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 19:42

ah ok je vois, je me demande pourquoi je n'y arriv pas pfff ça se vois que j'ai envie de dormir a un tel point que je confonds même arccos et arcsin avec les fonctions hyperboliques

merci pour l'aide !

Posté par
Tigweg Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 19:42

Bonsoir maths-rix,

à part la troisième égalité où tu t'es trompé (erreur de frappe sans doute), tout est bon!

Il faudrait juste dire que l'équation n'est définie que sur [\frac {-1}{\sqrt 3};\frac {1}{\sqrt 3}]

et expliquer pourquoi

sin(arccos(x\sqrt 3) est positif avant de simplifier l'expression.


Qu'est-ce qui te tracasse ensuite?

Tu poursuis simplement:

4x^2=1\;=>\;x^2=\frac 1 4\;=>\;x=\frac 1 2\;ou\;x=\frac {-1}{2}


OK?


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 19:46

Salut Raymond, désolé!

Posté par
maths-rixre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 19:52

Tigweg merci pour l'aide !

qu'est ce qui me tracasse ? ben hier j'ai dormi a 3 heure du mat et je suis completement cassé; je ne suis pas du tout concentré !

Posté par
Tigweg Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:01



Ok je comprends mieux!
Je t'en prie!

Pour conclure:

1/2 et -1/2 sont bien dans l'ensemble de définition, par contre comme tu as raisonné par implications (et non par équivalence) il faut encore vérifier si les "solutions" trouvées en sont vraiment, ce qui éliminera -1/2.

Il reste bien: S={1/2}.


Tigweg

Posté par
maths-rixre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:15

oui c'est ce que j'ai fait ! merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:16

Parfait!Avec plaisir!

Posté par
raymond Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:22

Bonjour Tigweg.

Je propose une autre méthode.

X = Arcsin(x) avec : 2$\textrm -\fra{\pi}{2} \le \ X \le \ \fra{\pi}{2} et 2$\textrm -1 \le \ x \le \ 1

Y = Arcsin(x2$\sqrt{3}) avec : 2$\textrm -\fra{\pi}{2} \le \ Y \le \ \fra{\pi}{2} et 2$\textrm -1 \le \ x\sqrt{3} \le \ 1

Alors x = sin(X) et x2$\sqrt{3} = sin(Y).

Donc cos²(X) = 1 - x² et cos²(Y) = 1 - 3x²

X + Y = 2$\fra{\pi}{2} <==> cos(X + Y) = 0

<==> cos(X).cos(Y) - Sin(X)sin(Y) = 0

<==> (1 - 3x²)(1 - x²) = 3x4

On retrouve les résultats de maths-rix.

A plus RR.

Posté par
Tigweg Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:31

Cette idée est intéressante, mais on n'a toujours pas l'équivalence

X+Y=\frac {\pi}2\;<=>\;cos(X+Y)=0, Raymond!

J'ai l'impression que si on veut vraiment raisonner par équivalence, on est obligé de rajouter la condition

sin(X+Y)=1 à la tienne,

ce qui alourdit quand même un peu les choses.


Tigweg

Posté par
raymond Correcteurre : [équation] fonctions hyperboliques 27-09-07 à 20:58

Tu as raison : il y a aussi X + Y = 3$-\fra{\pi}{2}

Désolé.

A plus RR.


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