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Equation matricielle
Bonjour,
Je bloque sur un exercice portant sur une équation matricielle : soit telle que
. Que dire des endomorphismes
et
?
Je sais déjà que ces deux endomorphismes sont symétriques positifs. Et déjà si est solution à
alors
aussi.
Si est inversible alors
. De même si
est solution de l'équation alors
est inversible.
Maintenant si est symétrique alors par le théorème spectral on trouve que la matrice diagonale vérifie :
et vu que les valeurs propres sont réelles ( car matrice symétrique réelle ) alors elle ne peut admettre que 0,1 ou -1 comme valeurs propres.
Je trouve aussi que : ,
,
et
Mais voilà j'ai toutes ces informations mais je ne peux pas m'en servir. J'aimerai bien décomposer la matrice en une matrice symétrique ou une matrice diagonale quelque part mais je ne sais pas comment faire.
J'espère que vous pourrez me fournir des pistes à suivre pour résoudre cet exercice.
Merci d'avance,
Bonsoir !
Tu peux aussi dire que est valeur propre de
: les colonnes non nulles de
sont des vecteurs propres.
L'espace propre a pour dimension le rang de .
Je n'ai pas eu le temps d'en dire plus mais tu devrais comparer les noyaux de
J'ai bien l'impression que est un projecteur.
Bonjour
peux-tu préciser ton énoncé ? il semble que tu mettes le t des transposées tantôt à droite tantôt à gauche de la matrice, du coup j'ai des doutes sur la manière dont il faut comprendre la première égalité : est-ce bien ?
Bonsoir,
L'équation est ( je note la transposée :
).
On a si alors :
Donc a d'une part : et sauf si
et dans ce cas
, alors on peut prendre
et on a donc un vecteur propre associé à
pour
. Réciproquement si
vecteur propore associé à
alors on a
donc
. D'où
.
On a déjà : . Maintenant si
alors
et
donc
et ainsi
et :
donc
Donc : .
Comme vous avez dit : est un projecteur. Je pense qu'on a tout déterminer alors sur
De même on trouvera et
et
projecteur.
Si c'est cela qu'étudier un projecteur ( trouver son image et son noyau ) alors je pense que l'exercice est résolu.
Vous en pensez-quoi s'il vous plaît ?
Merci d'avance,
La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation .
Et c'est ce qui est préconisé pour les concours en prépas !
Donc, si tu as :
.
Besoin de rien d'autre pour dire que c'est un projecteur. Reste à trouver image et noyau.
Chaque colonne de
vérifie
: on en déduit qu'il y a un espace propre de
associé à la valeur propre
de dimension le rang
de
.
Par ailleurs et
ont même noyau.
Idem pour puisque
...
Ton calcul de me semble faux car
et pour l'égalité des images de
et
tu peux utiliser le théorème du rang.
Bonsoir,
Merci pour votre réponse et pour la convention de notation.
Je n'avais pas vu que chaque colonne de
vérifiait l'égalité que vous mentionnez, cela permet de conclure bien plus rapidement qu'une double inclusion (en réalité c'est la double inclusion qui justifie la conclusion qu'on tire de l'égalité je pense).
En fait, je pense que puisqu'on a et qu'on en a tiré que :
alors de même avec
on en tire que
Merci d'avance,
Pour des matrices réelles, l'égalité n'a rien à voir avec ta relation : elle se démontre sans aucune hypothèse.
On montre de même que et
ont même noyau.
Savoir que les colonnes non nulles de sont des vecteurs propres ne permet aucune conclusion pour l'image de
.
Il y a une inclusion entre les images de et de
ET c'est la relation entre les noyaux qui permet de conclure (théorème du rang).
Bref, la relation donnée au départ ne sert à rien pour établir et
.
En revanche elle est indispensable pour montrer que est un projecteur.
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
J'aimerais faire comme ce que vous avez fait sur un précédent post portant sur une équation matricielle et prendre avec :
et
deux matrices non nulles ( on prend
matrice de rang 1 ).
Et j'aimerai trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur et
pour que
vérifie
.
Déjà essayons d'avoir des conditions nécessaires pour avoir un projecteur.
avec
un scalaire non nul.
donne :
Vu que alors :
Et donc est un polynôme annulateur de
et vu que
alors
( par polynôme minimal ).
Mais dans ce cas, et donc
est inversible et donc n'est plus de rang 1...
J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois. Je n'arrive pas à trouver où est ma faute, ne peut-il donc pas y avoir des solutions de rang 1 ?
Merci d'avance,
Si tu veux une solution de rang 1 tu prends .
Alors et pour réaliser ta condition il suffit de prendre
ce qui se traduit par le choix des vecteurs
normés (produit scalaire canonique de
).
Mais il y a évidemment d'autres solutions !
Ton erreur, il me semble, est de croire que si admet le polynôme annulateur
, alors
. N'aurais-tu pas fait une "simplification" par
dans la relation
?
Bonjour,
C'est effectivement ma faute. C'est une grave erreur car l'anneau des matrices n'est pas intègre. Je me demande où j'avais la tête.
Merci pour votre réponse. On a donc la condition suffisante que les deux vecteurs soient normés. Est-ce qu'on pourrait dire que est une condition nécessaire et suffisante ?
Car
Merci d'avance,
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