Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Equation nombre complexes

Posté par
UnderGaminG 01-11-17 à 12:02

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide pour une équation portant sur les nombres complexes que je n'arrive pas à résoudre : -\frac{z}{iz+1}+\frac{3z}{z-i}=3+i .
Voici ce que j'ai actuellement fais :
\Leftrightarrow -\frac{z\left(z-i\right)}{\left(z-i\right)\left(iz+1\right)}+\frac{3z\left(iz+1\right)}{\left(z-i\right)\left(iz+1\right)}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{-z\left(z-i\right)+3z\left(iz+1\right)}{\left(z-i\right)\left(iz+1\right)}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{-z\left(z-i\right)+3z\left(iz+1\right)}{2z+i\left(z^2-1\right)}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{3z^4-z^3+3z^2-z+i\left(z^4+3z^3+z^2+3z\right)}{z^4+2z^2+1}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{3z^4-z^3+3z^2-z+iz^4+3iz^3+iz^2+3iz}{z^4+2z^2+1}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{3z^2-z}{z^2+1}+\frac{z^2+3z}{z^2+1}i=3+i \\ \Leftrightarrow 3+\frac{-z-3}{z^2+1}+\frac{z^2+3z}{z^2+1}i=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{-z-3}{z^2+1}+\frac{z^2+3z}{z^2+1}i=0+i
.....
Je me suis ensuite dis que je devrai poser z=x+iy et dire que la partie réelle de l'expression était nulle, et sa partie imaginaire égale à 1... mais je bloque

Vous n'auriez pas des pistes ?
Merci

Posté par
ThierryPomare : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:07

Bonjour,

Ne vois-tu pas que -i\,(i\,z+1)=z-i ? Les calculs peuvent donc se simplifier.

Posté par
ThierryPomare : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:10

Hint: L'on a clairement

-\dfrac{z}{i\,z+1}=\dfrac{i\,z}{-i\,(i\,z+1)}=\dfrac{i\,z}{z-i}

Posté par
UnderGaminGre : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:26

Je trouve qu'il n'y a pas de solutions à l'équation... est-ce bien ça ? ou je me suis trompé ?

Posté par
UnderGaminGre : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:32

Voilà mes calculs : (pas détaillés)
-\frac{z}{iz+1}+\frac{3z}{z-i}=3+i \\ \Leftrightarrow \frac{i\left(x+yi\right)}{x+yi-1}+\frac{3\left(x+yi\right)}{x+yi-1}=3+i \\ \Leftrightarrow \left(-y+3x\right)+i\left(x+3y\right)=\left(3x-3-y\right)+i\left(3y+x-1\right)
J'ai ducoup le système suivant :
\left\lbrace\begin{matrix} &-y+3x=3x-3-y & \\ &x+3y=3y+x-1 & \end{matrix}\right.
Or
-y+3x+\left(x+3y\right)=3x-3-y+\left(3y+x-1\right)
soit
4x+2y=4x+2y-4
Ce qui est faux...
c'est bien ça ?

Posté par
UnderGaminGre : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:35

je me suis trompé dans les calculs, j'ai confondu z-1 et z-i

Posté par
ThierryPomare : Equation nombre complexes 01-11-17 à 12:39

Pourquoi cet pathologie qui consiste à vouloir toujours poser z=x+i\,y ? Sinon, je n'ai pas résolu ton équation et le fait qu'il n'y ait pas de solution ne serait pas impossible.

Posté par
UnderGaminGre : Equation nombre complexes 02-11-17 à 13:12

Est-ce que c'est bon ? :
\Leftrightarrow \:-\frac{z}{iz+1}+\frac{3z}{z-i}=3+i \\ \Leftrightarrow \:\frac{iz+3z}{z-i}=3+i \\ \Leftrightarrow \:iz+3z=\left(3+i\right)\left(z-i\right) \\ \Leftrightarrow \:iz+3z=3z-3i+iz+1 \\ \Leftrightarrow \:0=-3i+1
Or -3i+1 =/= 0
On peut donc en conclure qu'il n'existe pas de solutions à l'équation dans \mathbb{C} .

Y'a-t-il une erreur ? Merci d'avance !

Posté par
sam1re : Equation nombre complexes 02-11-17 à 14:26

Oui  bon,bon

par contre, l'équation peut se résoudre en quelques lignes


\frac { iz }{ z-i } +\frac { 3z }{ z-i } =\frac { z\left( i+3 \right)  }{ z-i } =i+3


\frac { z\left( i+3 \right)  }{ z-i } -\left( i+3 \right) =0\quad \Leftrightarrow z\left( i+3 \right) -\left( z-i \right) \left( i+3 \right) =i\left( i+3 \right) =0\\ \\

bonne réflexion

ne reste plus qu'a conclure, bien sur le résultat sonne comme une évidence  


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !