Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Géometrie plane et dans l'espaceTopics traitant de Géometrie plane et dans l'espace [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Équation paramétrique

Posté par
FerreSucre 13-01-21 à 12:09

Bonsoir on viens d'apercevoir les équations paramétriques d'une droite dans l'espace, et nous avons eu une question, « existe il un point d'intersection entre ces deux droites », j'ai pas l'exemple mais on peut en prendre un au pif :

\begin{cases} x = 2-3t \\ y = -6 \\ z = -1+t \end{cases}

Et

\begin{cases} x = -5+3t' \\ y = 2-2t' \\ z = -2 - t' \end{cases}

Me vient une question, tout le monde à poser les deux systèmes = mais en posant « t' = t » (c'est une erreur je sais) mais ma question est :

Si le vecteur directeur de la droite est de même norme que celui de l'autre droite, et que le point de départ pris pour l'équation genre la première A(2, -6, -1) et B(....), si AI = BI en longueur avec I (point d'intersection) alors t=t' quand on est au point d'intersection donc on pourrait poser t=t' et égaliser les deux systèmes pour savoir si les conditions sont vérifiées ?

C'est un cas vraiment spécifique je suppose mais bon c'est pour mieux comprendre. Dites-moi si jamais y'a des conditions plus simples que norme de vecteur directeur égale et equidistance merci

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 12:18

Bonjour,

Il n'y a pas de vecteur directeur unique pour une droite, mais une infinité, lesquels sont évidemment colinéaires.

Si tu prends ton premier exemple,  voici deux vecteurs directeurs : (-3; 0; 1) et (3000; 0; -1000). Les normes sont évidemment différentes.

Je ne comprends pas ton raisonnement : pour savoir si deux droites dans l'espace se touchent, il suffit de résoudre le classique système d'équations. Trois cas se présentent:
- pas de solution : les droites ne se touchent pas ;
- une seule solution : les droites sont sécantes en un unique point dont les coordonnées sont la solution ;
- une infinité de solutions : les droites sont confondues.

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 12:48

Oui mais pour trouver si elles sont sécantes on pose ça non ?

\begin{cases} 2-3t = -5+t' \\ -6 = 2-2t' \\ 1+t = -2-t'\end{cases}

Et on trouve un coupe de réel (t,t') \in \R tel que au dessus. Mais si le vecteur directeur est de même norme que l'autre vecteur directeur et que le point de départ est de même distance du point d'intersection que de l'autre point de départ on pourrait poser directement :

\begin{cases} 2-3t = -5+t \\ -6 = 2-2t \\ 1+t = -2-t\end{cases}

Non ?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 12:50

Puisque les t ici serait identique aux points d'intersection ?

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:01

Quel couple as-tu trouvé ?

Je me suis peut-être égaré, je ne trouve pas de solution au système.

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:03

Ah, je vois que z a changé, tu as marqué au premier post z=1-t et non z=1+t

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:04

Petit erreur de ma part c'est z = -1+t mais sinon ?

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:05

FerreSucre @ 13-01-2021 à 12:48

Oui mais pour trouver si elles sont sécantes on pose ça non ?

\begin{cases} 2-3t = -5+t' \\ -6 = 2-2t' \\ 1+t = -2-t'\end{cases}

Et on trouve un coupe de réel (t,t') \in \R tel que au dessus. Mais si le vecteur directeur est de même norme que l'autre vecteur directeur et que le point de départ est de même distance du point d'intersection que de l'autre point de départ on pourrait poser directement :

\begin{cases} 2-3t = -5+t \\ -6 = 2-2t \\ 1+t = -2-t\end{cases}

Non ?


Honnêtement, je ne sais pas répondre... mais cela me semble douteux.

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:05

lyceen le système n'a probablement aucune solution mais c'est juste un exemple de système, mais le pavé que j'ai mis dessous avec mon deuxième système est-ce correct ?

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:06

Dans ton cas, ton système ne fonctionne pas... tu trouves 3 valeurs distinctes pour t... que veux-tu en faire ?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:07

Ce système là absolument rien c'est juste pour avoir un coup d'oeil sur ce que je disais c'est mieux (il ne faut pas chercher à le résoudre). Je voulais juste savoir si ce que j'ai dis est vrai

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:08

FerreSucre @ 13-01-2021 à 13:05

lyceen le système n'a probablement aucune solution mais c'est juste un exemple de système, mais le pavé que j'ai mis dessous avec mon deuxième système est-ce correct ?


Honnêtement, je pense que non mais je ne suis pas en mesure de le démontrer.

A priori tu pars de l'hypothèse qu'elles sont sécantes et tu poses une propriété... qui ne se vérifie pas. Cela est très douteux pour moi.

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:12

Bah je sais pas ça me semble correct personnellement car si tu pars à meme distance du point d'intersection avec le vecteur directeur de même norme que l'autre à ce moment-là la « progression » t sera la même non ? Parce qu'on multiplie t au vecteur directeur , (et que tu supposes que y'a un point d'intersection (si y'en a pas tu trouveras pas de solution normalement) )

Posté par
lyceenre : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:46

FerreSucre @ 13-01-2021 à 13:12

Bah je sais pas ça me semble correct personnellement car si tu pars à meme distance du point d'intersection avec le vecteur directeur de même norme que l'autre à ce moment-là la « progression » t sera la même non ? Parce qu'on multiplie t au vecteur directeur , (et que tu supposes que y'a un point d'intersection (si y'en a pas tu trouveras pas de solution normalement) )


Excuse-moi d'insister : comment tu peux partir de l'hypothèse que le point d'intersection existe ? S'il n'existe pas... comment justifier ton calcul ?

Pour moi c'est plus que douteux.

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 13:57

C'est sûrement douteux mais on peut supposer qu'il existe de la même façon qu'on peut supposer qu'un triangle est rectangle et vérifier si c'est vrai ou faux ? Non ?
De toute façon c'est rare quand y'a ses conditions de départ mais c'était juste dans la logique

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 14:00

Fin ici de toute façon t'as besoin de savoir si Ai = BI donc on te dit que il en existe un par défaut

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 13-01-21 à 14:05

Je vois ce que tu veux dire mais bon si on te dit qu'il en existe un ?

Posté par
larrechre : Équation paramétrique 13-01-21 à 17:07

Bonjour FerreSucre,

Un petit exercice , les droites (D) et (D') représentées respectivement par les systèmes

x= 2+t
y=-2t
z=1-2t

et

x=4+2t'
y=-2-2t'
z=2+t'    ont-elles un point commun ?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 14-01-21 à 13:03



(t,t') \in \R² , \begin{cases} 2+t =  4+2t' \\ -2t =-2-2t' \\ 1-2t = 2+t' \end{cases}

-1 - t = t' avec la deuxième ligne.

On remplace :

2-2t = 2+t , t = 0
1-t = 1-2t , t = 0
t' = -1 avec la deuxième ligne
t' = -1 avec 1er ligne
t' = -1 3 eme ligne

Il y a bien un point d'intersection car il existe deux reels t' et t qui vérifie le système ?
Pas bcp de temps désolé pour la rédaction merci

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 14-01-21 à 13:24

Le point d'intersection est I(2,0,1)

Posté par
larrechre : Équation paramétrique 14-01-21 à 14:47

Oui.
Si tu regardes bien, les vecteurs directeurs de (D) et (D') ont même norme.
Il y a effectivement  un point d'intersection (celui que tu as trouvé), mais t et t' sont différents.

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 14-01-21 à 17:17

salut

et maintenant toujours avec l'exemple de larrech réciproque (beaucoup plus ...) pénible : quelle paramétrisation de D' faut-il prendre pour avoir t = t' ?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 14-01-21 à 18:08

C'est à dire paramétrisation ? Je peux modifier quoi dans D' exactement ?

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 14-01-21 à 18:19

remplacer le point (4, -2, 2) et le vecteur (2, -2, 1) par (a, b, c) et (u, v, w) ... qu'i faut déterminer ...

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 15-01-21 à 12:09

\begin{cases}  2+ t = x+ut' \\ -2t = y + vt' \\ 1-2t = z + wt' \\ t = t' \end{cases}

\begin{cases} 2-x = (u-1)t \\ y = (-v-2)t \\ 1-z = (w-1)t \\ t = t' \end{cases}

Encore une fois j'ai pas beaucoup de temps xD mais y'a une infinité de solutions on doit pouvoir avec ce système trouver x y z en fonction de t mais je sais pas si ça servirait à grand chose

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 15-01-21 à 12:10

Mais quand tu dis qu'elle paramétrisations j'ai le droit de trouver une seule solution ? Ou tout un ensemble ? (J'ai compris un ensemble)

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 15-01-21 à 17:17

vu qu'il y a six inconnues (7 avec t = t') et trois équations il y a 0 ou une infinité de solutions (ici il y a des solutions) ...

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 15-01-21 à 17:55

Et donx faudrait que je fasse quoi ? Je résous le système un peu ?

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 15-01-21 à 18:06

certaines inconnues deviennent des paramètres et on exprime les autres en fonctions de ces inconnues ...

on choisit alors des valeurs quelconques pour ces inconnues paramètres et on détermine les autres ...

en fait pardon !! on a plus de contrainte parce qu'il faut bien sûr que ce soit la même droite !!

reprenons :

larrech @ 13-01-2021 à 17:07

les droites (D) et (D') sont représentées respectivement par les systèmes

x= 2+t
y=-2t
z=1-2t

et

x=4+2t'
y=-2-2t'
z=2+t'    ont-elles un point commun ?


pour la deuxième on écrit

x = a + ut'
y = b + vt'
z = c + wt'

et tu connais leur point d'intersection : (2, 0, 1)

donc le résultat est immédiat !!! (pour avoir t = t' )

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 16-01-21 à 14:47

Ah faut garder le point d'intersection !!?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 16-01-21 à 14:49

Je croyais tu me demandais la configuration de D' pour avoir un point d'intersection et t = t'...

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 16-01-21 à 17:01

en fait non il y a une infinité de possibilités


soit d et d' deux droites sécantes en I

A et B deux points de d et d" et u et v  deux vecteurs directeurs de d et d'

pour que la paramétrisation conduise à t  = t' il suffit que I = A + t \vec u = B + t \vec v \iff \dfrac {IA} {||\vec u||} = \dfrac {IB} {||\vec v||}

trois données sont donc nécessaires parmi A, B, u et v pour avoir le quatrième ...
le choix de l'intersection I est un cas particulier ... trivial ...

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 10:16

Oui je sais c'est ce que j'avais dit au tout début de ce topic c'est juste j'ai pas trop le temps là je gère d'autres problèmes :/ désolé

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 17-01-21 à 10:26

oui ce que tu as dit est bon mais c'est en fait un cas particulier de mon cas général quand tu choisis des vecteurs de même norme ...

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 10:54

J'y réfléchis mais bon j'ai ça xD :

\begin{cases} 2+t = X + at \\ -2t = Y + bt \\ 1-2t = Z + ct \\ X²+Y²+Z²+5-4X -2Z = 0 \\ a² + b² + c² = 9\end{cases}

Mais comme I(2,0,1) , t = 0 donc :

\begin{cases} 2 = X  \\ 0 = Y  \\ 1 = Z  \\ X²+Y²+Z²+5-4X -2Z = 0 \\ a² + b² + c² = 9\end{cases}

On a plus que :

a² + b² + c² = 9, sphère de rayon 3.

Donc :

\begin{cases} x = 2+ at' \\ y = bt' \\ z = ct' \\ a² + b²+c² = 9 \end{cases}

Non ?

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 10:56

Euh z = 1+ct'

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 11:05

Mais comme t = 0, en fait n'importe quel combinaison de :

(a,b,c) \in \R^3 \begin{cases} x = 2+at' \\ y = bt' \\ z = 1+ct' \end{cases}

Pour avoir t=t' au I

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 11:05

Je suis un peu perdu je sais pas exactement ce que tu me dis à 100% xD

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 17-01-21 à 11:37

oublie ce cas particulier et ne retiens que le cas théorique ... et encore ... ça n'a que peu d'intérêt ...

de toute façon on ne peut pas à priori savoir ce qu'il adviendra sans résoudre le système et se rendre compte que les paramètres sont égaux ou non ...

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 12:22

J'ai pas compris ducoup, ce que j'ai fais c'est ce que tu attendais ou ? (La réponse)

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 17-01-21 à 13:25

oui dans une certaine mesure ... mais je n'ai pas vérifié dans les détails ...

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 17-01-21 à 13:27

mais ici tu retombes sur ton cas particulier où tu prends A = B = I (point d'intersection)

donc n'importe quel vecteur directeur convient :

si d : M = I + tu et d' : M = I + t'v

alors M = M <=> M = I et t = t' = 0

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 16:52

Oui je sais mais tu veux que je fasse quoi ducoup  exactement ?

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 17-01-21 à 18:03

que tu passe à autre chose ...

(ce n'est guère productif et bénéfique de trainer là-dessus...)

Posté par
FerreSucrere : Équation paramétrique 17-01-21 à 21:27

Ouais fin j'aurais aimé savoir xD ducoup j'suis laissé comme ça

Posté par
carpediemre : Équation paramétrique 18-01-21 à 09:43

tout a été dit à 17h01 ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !