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Niveau seconde
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Équation racines

Posté par
ludmichic 25-02-17 à 14:16

Bonjour
Svp résoudre  ds R l'équation:

(x-(1/x)) + (1-(1/x)) = x

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 14:19

Bonjour, as tu des pistes ?

Posté par
ludmichicre : Équation racines 25-02-17 à 14:31

Alors j'ai précisé l'ensemble de définition qui est [1,+ infini [ puis j ai essayé le carré , la factorisation mais ca n a pas marché
Je ss arrivée ici:
(1-(1/x )) × [((x+1)+1] = x

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 14:39

Ok alors je te propose d'y aller vraiment pas à pas, ce n'est pas une équation très simple à résoudre, surtout si tu as le niveau second, bref passons ce détail, arrête-moi quand tu ne comprends pas. Si tu n'as pas l'attention de tout comprendre et que seul le résultat t'importe dis-moi, ça évitera de nous faire perdre du temps.

Bon, commençons :

\sqrt{(x-\frac{1}{x}}) + \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) = x \Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) = x - \sqrt{(x-\frac{1}{x}})\\ \text{mettons au carré des deux côté}\\ \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) = x - \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) \Leftrightarrow \left[(\sqrt{(x-\frac{1}{x}}) \right]^2 = \left[x - \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) \right]^2

As tu une idée ensuite ? Un certain developpement...

Posté par
StormTK9re : Équation racines 25-02-17 à 14:45

Je passe en éclair, Slpok a fait une petite erreur d'innatention

Slpok @ 25-02-2017 à 14:39

Ok alors je te propose d'y aller vraiment pas à pas, ce n'est pas une équation très simple à résoudre, surtout si tu as le niveau second, bref passons ce détail, arrête-moi quand tu ne comprends pas. Si tu n'as pas l'attention de tout comprendre et que seul le résultat t'importe dis-moi, ça évitera de nous faire perdre du temps.

Bon, commençons :

\sqrt{(x-\frac{1}{x}}) + \sqrt{({\red{1}}-\frac{1}{x}}) = x \Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) = x - \sqrt{({\red{1}}-\frac{1}{x}})\\ \text{mettons au carré des deux côté}\\ \sqrt{(x-\frac{1}{x}}) = x - \sqrt{({\red{1}}-\frac{1}{x}}) \Leftrightarrow \left[(\sqrt{(x-\frac{1}{x}}) \right]^2 = \left[x - \sqrt{({\red{1}}-\frac{1}{x}}) \right]^2

As tu une idée ensuite ? Un certain developpement...


Bon courage

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 14:47

Ah oui effectivement, le Latex ne me réussit pas toujours :p

Posté par
ludmichicre : Équation racines 25-02-17 à 15:01

Ah oui c'est vrai avec la faute ça aurait été plus facile. Les étapes m'intéressent on nous a posé l exo hier a l examen d'olympiades. Du coup maintenant j'ai avancé mais la racine me suit toujours

Posté par
LeBeauCosre : Équation racines 25-02-17 à 15:24

Maintenant développes l'égalité remarquable  puis isoles à nouveau la racine carré puis remets au carré

Bon courage

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 15:31

Bon vu que je vais devoir partir, je vais te faire tout la demonstration, n'hesite pas a demander de l'aide ensuite.

Donc on reprend :

\left[\sqrt{x-{\frac{1}{x}}} \right]^2 = \left[x-\sqrt{1-{\frac{1}{x}}} \right]^2\\ \text{Developpons} \left[\sqrt{x-{\frac{1}{x}}} \right]^2\\ \left[\sqrt{x-{\frac{1}{x}}} \right]^2 = ((x-\frac{1}{x})^{\frac{1}{2}})^2 = x - \frac{1}{x}\\ \\ \text{Ok maintenant développons} \left[x-\sqrt{1-{\frac{1}{x}}} \right]^2\\ \\ \text{Appliquons la deuxième égalité remarquable }: \left[x-\sqrt{1-{\frac{1}{x}}} \right]^2 = x^2 - 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}+ \left(\sqrt{1-\frac{1}{x} } \right)^2\\ \\ \left(\sqrt{1-\frac{1}{x} } \right)^2 = 1 - \frac{1}{x} \text{par le même raisonnement qu'avant}\\ \\ x^2 - 2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x+ (1- \frac{1}{x}) \Leftrightarrow x^2 - 2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x+ 1- \frac{1}{x}\\ \\ \text{Ouf, on a fini les developpements, on a donc } x-\frac{1}{x} =x^2 - 2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x+ 1- \frac{1}{x}

A partir de là, on soustrait x^2 +1 - (1/x) des deux côtés :

x-\frac{1}{x}-(x^2+1-\frac{1}{x})=x^2 - 2\sqrt{1-\frac{1}{x}}\times x + 1 - \frac{1}{x} - (x^2+1-\frac{1}{x}) \Leftrightarrow \\ -x^2 + x -1 = -2\sqrt{1-\frac{1}{x}}\times x

On remait au carré les deux cotés de l'équation :

(-x^2+x-1)^2=(-2\sqrt{1-\frac{1}{x}}\times x})^2

Là ça ce complique vraiment, bon je vais essayer d'y aller calmement :

On developpe (-x^2+x-1)^2 : (-x^2+x-1)(-x^2+x-1)
Ici je te passe les details chiant, ça fait : x^4 - 2x^3 + 3x^2 -2x +1

On développe (-2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x )^2
On applique la regle (-a)^n = a^n soit =  (-2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x )^2 = (2\sqrt{1-\frac{1}{x}} \times x )^2
On applique la règle (ab)^n = a^nb^n = 2^2 \times x^2(\sqrt{1-\frac{1}{x}})^2la parenthèse prend bien toute la racine.
Ici on se souvient que (\sqrt{1-\frac{1}{x}})^2 = 1-\frac{1}{x}
soit : 2^2(1-\frac{1}{x})x^2=4(1-\frac{1}{x}^2)x^2 = 4x^2 -4x

On repose l'équation

x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x

Bon, là il y a bien une méthode mais c'est vraiment inabordable en seconde, bref, les solutions sont x=\frac{-\sqrt5 +1}{2};\frac{\sqrt5 +1}{2};\frac{1597}{987}

Mais on oublie pas D_f, donc les seuls solutions sont : \frac{\sqrt5 +1}{2};\frac{1597}{987}

Voila voila.

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 15:33

Ps: il doit y avoir plusieurs méthode, car il me parait bizarre que on vous demande de résoudre x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x...

Posté par
LeBeauCosre : Équation racines 25-02-17 à 15:42

Salut Splok moi aussi je me suis attaqué à résoudre cette équation qui me parait un peu difficile pour des élèves de seconde et justement j'étais un peu bloqué pour résoudre la dernière équation car cherchant des racines évidentes je n'en ai pas trouvé .Je serais preneur si tu expliques comment tu as fais

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 15:50

Bah le problème c'est justement que je ne sais pas le faire, du coup j'ai simplement rentré tout ça dans un solveur.

Une bonne approche peut être l'approche graphique, et l'approche algébrique s'appelle la méthode de Newton, mais elle est loin d'être facile à comprendre, en tout cas pour moi.

Posté par
LeBeauCosre : Équation racines 25-02-17 à 15:53

Ah ok moi justement j'avais tracé le graphe de cette fonction sur ma calculatrice et j'avais trouvé une approche de ce résultat .

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 16:00

Ouai, c'est probablement ce qui est attendu

Posté par
Pirhore : Équation racines 25-02-17 à 16:03

Bonjour,

il y a une méthode classique pour résoudre ce type d'équation( équation réciproque) mais à ma connaissance ce n'est pas au programme de 2de.

ludmichic : es-tu étudiant en France?

Posté par
ludmichicre : Équation racines 25-02-17 à 16:13

Coucou merci pour l'aide vraiment c'est gentil!Merci bcp. Déjà le fait que même vous l'aviez trouvée difficile me rassure lol sinon je m'aurais dit mince fallait que je fasse ça puis ça . Mais je suis sûre qu' il y a une méthode à notre portée sinon on nous l'aurait pas posée je pense.
Alors je vais m'éclaircir: Je vis au Maroc je suis en tronc commun ce qui est l'équivalent de la seconde en France.  Je ne sais pas si vous êtes au courant mais les maths au Maroc sont selon ce que j'ai entendu plus difficiles qu' en France.  Il est aussi à noter que c'est un exercice d'olympiades et non un exercice de cours. L'examen d'olympiades qui contenait cet exercice est justement selectif.  Et je fais partie de 2 personnes qui représentent mon école.  Encore merci beaucoup pour m'avoir aidée.  Si vous avez des questions sur notre système d'enseignement soyez les bienvenus  

Posté par
Pirhore : Équation racines 25-02-17 à 16:23


as-tu étudié les équations réciproques?

Posté par
ludmichicre : Équation racines 25-02-17 à 16:29

Non non

Posté par
alb12re : Équation racines 25-02-17 à 16:52

salut,
1597/987 est vraiment une solution ?

Posté par
Slpokre : Équation racines 25-02-17 à 16:58

Selon mon solveur oui, mais ça me parait vraiment bizarre aussi, je pense que la seule solution est racine de 5 + 1 le tout  divisé par 2

Posté par
alb12re : Équation racines 25-02-17 à 17:13

Xcas logiciel libre de calcul formel donne

f(x):=sqrt(x-1/x)+sqrt(1-1/x)-x
resoudre(f(x)) // renvoie list[(sqrt(5)+1)/2]

Posté par
Priamre : Équation racines 25-02-17 à 19:07

Je pense qu'il conviendrait de déterminer d'abord l'intervalle de définition de l'équation, c'est-à-dire l'intervalle où doit se situer  x  pour que l'équation existe.
x , somme de deux racines carrées, doit être positif ou nul. Il ne peut en fait être nul à cause des  1/x .
Ensuite, les expressions sous les radicaux doivent être positives ou nulles.
Finalement, on trouve que cet intervalle est  [1; + oo) .
Il en résulte que la seule solution acceptable est effectivement  (5 + 1)/2  (le nombre d'or). Il s'agit d'une solution double.

Posté par
alb12re : Équation racines 25-02-17 à 19:23

l'ensemble de definition a ete trouve des le debut par le demandeur

Posté par
alb12re : Équation racines 25-02-17 à 19:59

Xcas me dit que le polynome est un carre

factor(x^4-2x^3+3x^2-2x+1-4x^2+4x) renvoie (x^2-x-1)^2


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