Niveau Maths sup

équation trigo

Posté par
abdalnour 30-09-07 à 18:21

Excusez moi de vous déranger.
Je dois résoudre Arcsin(x)+Arctan(x)=pi/2
Je ne vois pas comment résoudre cette équation d'habitude je met un Arc de chaque coté,puis je met passe tout au sinus ou cosinus etc... et puis je me débrouille avec le réultat en utilisant les formules de trigo mais la je ne vois pas pouvez vous me donner une aide?
Merci d'avance a tous

Posté par re : équation trigo 30-09-07 à 18:23

bonjour
et si tu dérivait la fonction Arcsin(x)+Arctan(x)? N'est-elle pas constante?

Posté par re : équation trigo 01-10-07 à 11:56

Bonjour.

Par définition, $2$ -1\le x\le 1$ .

Posons X = Arcsin(x) et Y = Arctan(x), avec :

$2$ -\fra{\pi}{2}\le X \le\fra{\pi}{2}$ et $2$ -\fra{\pi}{2} \ <\ Y \ < \ \fra{\pi}{2}$

Alors, x = sin(X) et x = tan(Y).

x = sin( $2$\fra{\pi}{2}$ - Y) = cos(Y).

Donc cos(Y) = tan(Y) ==> cos²(Y) = sin(Y) ==> sin²(Y) + sin(Y) - 1 = 0.

Un seule solution convenable : sin(Y) = $2$\fra{\sqrt{5}-1}{2}$

Mais sin(Y) = sin( $2$\fra{\pi}{2}$ - X) = cos(X).

Donc, x² = sin²(X) = $2$1-\Big(\fra{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^2=\fra{\sqrt{5}-1}{2}$

D'où : $3$\fbox{x=\pm\sqrt{\fra{\sqrt{5}-1}{2}}}$

Sauf erreur. A plus RR.

Posté par re : équation trigo 01-10-07 à 21:04

Merci Raymond(j'aurais tendance a dire Monsieur vu que vous êtes prof....instinct d'élève) d'avoir pris du temps pour me répondre mais j'avoue que je suis un peu largué je n'arrive pas à comprendre votre démonstration.
A la troisième ligne: je comprends vos encadrements (encore heureux me direz vous)
masi ensuite vous posez: X = Arcsin(x) et Y = Arctan(x). Vous sous entendez que vous "passez" l'inégalité de gauche au sinus et celle de droite à la tan?
Mais comment arrivez vous d'une inégalité a une égalité.?
Je ne vois pas d'ou vient sin(Arcsin x)=sin((pi/2)-Arctanx)=cos(Arctan x) ?
Merci encore