Niveau Maths sup

équation trigonométrique

Posté par
jeroM 18-05-07 à 16:00

Bonjour,
j'ai trouvé sur le net des sujets d'entrée à LLG réservés aux candidats étrangers (donc un très bon niveau Term S).

L'un des exercices me pose problème :

Résoudre dans IR:   $\displaystyle sin(x)+cos(x)=2cos(x)sin(x)$ .

Ce que j'ai fait :
On élève au carré les deux membres et on a
         $1+sin(2x)=(2sin(2x))^2$
On pose $\displaystyle X=sin(2x)$ et on doit résoudre $\displaystyle X^2-X-1=0$ dont les deux solutions sont $\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}$   et   $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

La méthode vous paraît-elle bonne ? existe-t-il mieux ?

Surtout comment résoudre $\displaystyle sin(2x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ?

Posté par Hecate (invité)re : équation trigonométrique 18-05-07 à 18:50

si tu poses ca, tu n'obtiens pas plutot 4X²-X-1=0 ??? (juste a voir ton post)

Posté par re : équation trigonométrique 18-05-07 à 19:50

Bonjour

Hecate > Non, c'est juste qu'il a laissé trainer un 2

Pour $3$ \rm \sin(2x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ je dirais tout simplement $3$ \rm \fbox{x=\frac{1}{2}\arcsin$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}$

Posté par re : équation trigonométrique 18-05-07 à 19:54

Non en réalité JeroM a sans doute obtenu :

$\sin(x)+\cos(x)=2\cos(x)\sin(x)\Longrightarrow1+\sin(2x)=(\sin(2x))^2\Longleftrightarrow X^2-X-1=0$ .

Attention, le passage au carré ne donne pas l'équivalence mais seulement une implication de gauche à droite...

Posté par Hecate (invité)re : équation trigonométrique 18-05-07 à 20:06

le x que tu donnes infophile n'est pas modulo 2Pi ? (puisque s'il marche, x+k2Pi marche aussi)

Posté par re : équation trigonométrique 18-05-07 à 20:08

Oui Hecate

Posté par Hecate (invité)re : équation trigonométrique 18-05-07 à 20:17

^___^

(au fait, bonjour infophile/patrice/jeroM ! *manque à tout ses devoirs*)

Posté par re : équation trigonométrique 18-05-07 à 21:17

Merci à tous, tout d'abord.
J'ai tourné ce problme dans tous les sens, la réponse d'infophile semble être la seule que l'on puisse donner en valeur exacte.