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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equation trigonométrique

Posté par
AyoubAnnacik
29-05-22 à 22:59

Paisible journée tout le monde!!
Comment résoudre cette equation?
cos(x)+sin(x)+1=0

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
LeHibou
re : Equation trigonométrique 29-05-22 à 23:09

Bonsoir,

Une piste :

cos(x) + sin(x) = -1
(cos(x) + sin(x))² = (-1)² = 1
cos²x + 2cos(x)sin(x) + sin²(x) = 1
Mais cos²(x) + sin²(x) = 1 donc...
Cela va te donner une infinité de solutions, dont certaines conviendront et d'autres non.
Il faudra vérifier celles qui sont compatibles avec l'équation initiale.

Posté par
Bcarre
re : Equation trigonométrique 29-05-22 à 23:31

On peut continuer
1+2cos(x)sin(x)=1
2cos(x)sin(x)=0
Et à partir de là il faut voir les formules de duplication dans le cours

Posté par
Razes
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 00:59

Bonsoir,

Il y a plusieurs façons de faire, celle proposé par LeHibou à l'inconvénient comme l'a signalé d'ailleur LeHibou  de contenir des solutions qui ne marchent pas. (Solutions de \cos x+\sin x=-1

Autre façon: utiliser l'angle moitié.
\cos x=1-2\sin\frac x2; \sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2 à remplacer dans l'équation énoncé.

Autre façon: utiliser les formules trigonométriques usuelles moyennant une petite transformation;
\cos x+\sin x=\cos x+\cos(\frac{\pi}2- x)=...
Utiliser: \cos p+\cos q=...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 07:00

Bonjour,
Il y a aussi la méthode traditionnelle pour les équations de la forme acosx + bsinx = c :
Diviser par (a2+b2) pour faire apparaître cos(x-d) = cos(e).
Ici, diviser par 2.

Posté par
Pirho
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 09:11

Bonjour,

personnellement, j'aurais utilisé la forme donnée par Sylvieg qui est une forme classique , mais puisqu'on est dans les variantes

1) en multipliant les 2 membres par \dfrac{\sqrt{2}}{2}
 \\
\dfrac{\sqrt{2}}{2} cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

soit en utilisant sin( on pourrait utiliser  cos)

sin(\dfrac{\pi}{4}+x)=sin(-\dfrac{\pi}{4})

ou 2) avec les angles moitiés


 \\ 2cos^2(\dfrac{x}{2})-1+2sin(\dfrac{x}{2})cos(\dfrac{x}{2})+1=0

cos(\dfrac{x}{2})[cos(\dfrac{x}{2})+sin(\dfrac{x}{2})]=0

ou...

Posté par
AitOuglif
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 09:57

Bonjour
On peut aussi remarquer que \cos x+\sin x est la partie réelle de (1-i)(\cos x +i\sin x)=(1-i)e^{ix}.

Posté par
Bcarre
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 16:21

En fait pour ne pas trop aller loin et reprendre LeHibou il suffit juste de dire que 2sin(x)cos(x)=sin(2x)
Et on aboutit à sin(2x)=0 or 0 correspond à quel valeur de sinus? Et l'équation est résolu

Posté par
carpediem
re : Equation trigonométrique 30-05-22 à 20:25

salut

\cos x + \sin x + 1 = 0 \iff 1 + \cos x = -\sin x

le premier membre est positif donc pour avoir une solution il est nécessaire que x \in [-\pi, 0]  [2\pi]

\cos x + \sin x + 1 = 0 \iff 1 + \sin x = -\cos x

le premier membre est positif donc pour avoir une solution il est nécessaire que x \in [-\pi, -\pi/2] \cup [\pi/2, \pi]  [2\pi]

dans l'intersection -\pi $ et $ - \pi/2  [2\pi] sont des solutions évidentes ...

Posté par
AyoubAnnacik
re : Equation trigonométrique 03-06-22 à 14:33

Merci !!

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation trigonométrique 03-06-22 à 17:17

bonjour
la méthode de LeHibou est bien parce qu'elle donne une condition nécessaire : 2sin x cos x = 0, donc sin x = 0 ou cos x = 0 : à partir de là on revient à l'équation de départ pour obtenir x :
on aura cos x = 0 et sin x = -1, ou sinx = 0 et cos x = -1.

spontanément j'aurais fait comme Sylvieg, ceci dit, multiplier par racine de 2 sur 2 et fait intervenir des x +pi/4 ( méthode qui va marcher à tous les coups, mais c'est rai qu'ici celle de Le Hibou permet d'avoir les réponses en deux coups de cuiller à pot sans rien savoir d'autre que cos²+sin² ou presque)

Posté par
Razes
re : Equation trigonométrique 03-06-22 à 18:23

Bonjour,

Une petite remarque:  on peu réduire  ce que LeHibou à proposé par: 2\cos x\sin x=\sin 2x=0

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation trigonométrique 03-06-22 à 18:30

certes mais ça éloigne de l'équation de départ

Posté par
Razes
re : Equation trigonométrique 03-06-22 à 20:02

Bonjour lafol,

Cela ne nous éloigné pas de l'équation initiale mais \sin 2x=0 est une façon plus simple d'écrire: \sin x=0 ou \cos x=0

Je constate que ça a été déjà proposé par Bcarre à 30-05-22 à 16:21.



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