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équation (z+1)^n=(z-1)^n

Posté par
sgu35 11-06-21 à 08:28

Bonjour,
je suis en train de faire un exercice d'application qui est de résoudre l'équation :
(z+1)^n=(z-1)^n
mais je trouve des solutions opposées lorsque je fais ((z+1)/(z-1))^n=1 et ((z-1)/(z+1))^n=1
je trouve z=(1+e^{i\theta_k})/(e^{i\theta_k}-1) dans le premier cas, et z=(1+e^i\theta_k)/(1-e^i\theta_k) dans le deuxième cas.
Comment cela se fait-il?

Posté par
flightre : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 09:07

salut

tu peux faire le chgt de variable : Z = (z+1)/(z-1)

Posté par
flightre : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 09:07

cela te donnera quelque chose de connu de la forme  Zn-1 = 0

Posté par
sgu35re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 09:16

et pourquoi pas le changement de variable Z'=(z-1)/(z+1)?

Posté par
Aalex00re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 10:00

Bonjour,

sgu35 @ 11-06-2021 à 08:28

je trouve z=(1+e^{i\theta_k})/(e^{i\theta_k}-1) dans le premier cas, et z=(1+e^i\theta_k)/(1-e^i\theta_k) dans le deuxième cas.
Presque ! En fait le \theta_k n'est pas le même suivant que tu fais le 1er ou le 2nd changement de variables. Si tu le note \theta_k pour le premier, alors tu as du -\theta_k pour le 2nd (car tes 2 changements de variables sont inverses l'un de l'autre, et tu sais que (e^{i\theta_k})^{-1}=e^{-i\theta_k}). Donc les 2 solutions sont identiques.

Posté par
mousse42re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 11:23

sgu35 @ 11-06-2021 à 09:16

et pourquoi pas le changement de variable Z'=(z-1)/(z+1)?


Puisque tu travailles sur les racines n-ième de l'unité

Avec Z^n=1, on sait que Z=e^{i\frac{2k\pi}{n}} avec k\in [0,n-1]\cap \N

Il te reste à résoudre \dfrac{z+1}{z-1}=Z

Posté par
mousse42re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 11-06-21 à 12:01

j'ai mal lu ta question, on peut aller plus loin avec les formules d'Euler tu devrais tomber sur z=-\dfrac{i}{\tan k\frac{\pi}{n}}

Posté par
sgu35re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 13-06-21 à 20:28

En fait je trouve -i cotan(k\pi/n) pour le cas (z+1/z-1)^n=1 et icotan(k\pi/n) pour le cas (z-1/z+1)^n=1
Les solutions sont opposées, est-ce normal?

Posté par
sgu35re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 13-06-21 à 20:39

Citation :
Presque ! En fait le \theta_k n'est pas le même suivant que tu fais le 1er ou le 2nd changement de variables. Si tu le note \theta_k pour le premier, alors tu as du -\theta_k pour le 2nd (car tes 2 changements de variables sont inverses l'un de l'autre, et tu sais que (e^{i\theta_k})^{-1}=e^{-i\theta_k}). Donc les 2 solutions sont identiques.

quel changement de variable fait-on?

Posté par
sgu35re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 14-06-21 à 09:27

peut-être qu'on peut considérer l'égalité cotan(\pi-x)=-cotan(x) pour x \ne 0 et x \ne \pi
si x= \pi/n, cotan(x)=-cotan(\pi-x), soit cotan(\pi/n)=-cotan((n-1)\pi/n)

Posté par
sgu35re : équation (z+1)^n=(z-1)^n 14-06-21 à 09:38

autre chose : on peut écrire ((z+1)/(z-1))^n=1 car z=1 n'est pas solution, et   ((z-1)/(z+1))^n=1 car z-1 n'est pas solution.
De plus, Z=1 n'est pas solution donc k \ne 0.


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