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Equations des arcs parallèles à un arc paramétré ??

Posté par
Testicool
02-05-08 à 12:18

Bonjour à tous!
Bon voilà j'ai une très bonne question à vous poser ^^

on me donne l'équation d'un arc paramétré :

x1(t)=t-sin(t)       (bon c'est l'équation de la cycloïde)
y1(t)=1-cos(t)

ainsi que sa développée :  x2(t)=+t-sin(t)
                                           y2(t)=-1-cos(t)

et son rayon de courbure R=4.|sin(t/2)|

en première question on me demande de définir le vecteur tangent et normal à notre courbe (x1,y1).  appellons les T et N.


et la on me demande de trouver les équations des arcs parallèles à notre arc (x1,y1) correspondant à t dans [0,2]. ces arcs Za étant paramétrés par la distance algébrique 'a'.


Voila alors si quelqu'un a une formule générale qui nous permet de trouver les arcs parallèles à un arc donné j'aimerai bien qu'il m'en fasse part

merci d'avance.

Posté par
Arnaud
Re : "Equations des arcs parallèles à un arc paramétré ??" 05-05-08 à 18:45

          Bonjour Testicool,
          Voici un résultat qui pourait t'aider:

          Soit s(s) une courbe que l'on supposera paramétrée par longueur d'arc. On note (s) sa tangente unitaire. On peut montrer qu'une CNS pour qu'une courbe s(s) admette (s) pour développée est :
  
                                                                                  a tel que (s) (s)+(a-s)(s)  

         Malheureusement, je ne connais pas la demonstration de ce resultat, qui est d'ailleurs le sujet d'un de mes récents posts.

          Une courbe (s) est parallèle à (x1,y1) si, et seulement si, elles ont même développée, ainsi le résultat précédent doit permettre de résoudre ton problème en faisant varier a.

Posté par
Testicool
re : Equations des arcs parallèles à un arc paramétré ?? 05-05-08 à 18:56

Bonjour Arnaud,

   Merci pour ta réponse mais en fait j'ai réfléchis à ma question et je crois qu en fait Pour f(t)=(x(t),y(t)) un arc paramétré et N le vecteur normal unitaire, on a g un arc parallèle a f de distance a si

     g(t) = f(t) + a*N

  Voilà, je pense que c'est la bonne formule. Sinon pour ton exercice je vois pas trop comment démontrer ça... Je connais cette formule mais dans le repère cartésien. Ce qui donne :

     g(t) = f(t) + ( - s(t)).(t)

Avec S(t)=||f'(u)||du     (intégrale de 0 à t)

    Peut être cette définition peut t'aider aussi :

f développante de g g développée de f

ainsi avec la formule générale d'une développée d un arc tu peux peut être faire ton exercice.

    



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