Niveau Reprise d'études

équations différentielles

Posté par
Val2a 13-02-20 à 16:02

bonjour, je n'arrive pas démarrer un exercice où on me demande de trouver toutes les f° polynômes P du 3eme degré telles que : pour tout réel "x" :
xP'(x) - 3P(x) = 0
J'ai commencé par écrire que c'est P'(x) = [3P(x)]/x
Je bloque sur l'idée qu'il faut trouver une primitive d'un quotient de 2 fonctions : P(x) et f(x) = x. Et là c'est le trou noir, aucun début de solution n'est viable pour moi.
Avez vous une aide à m'apporter?
En vous remerciant par avance pour votre indulgence car je reprends des études après 20 ans d'arrêt. Je ne recherche pas de réponse pour feignasser et je ne souhaite pas me faire rabaisser si ma question vous semble idiote.

Posté par re : équations différentielles 13-02-20 à 16:09

Bonjour Val2a.

J'aurais plutôt écrit $\dfrac{P'}{P}=\dfrac{3}{x}$ d'où $\ln(P(x)) = 3\ln(x)+C$ d'où $P(x) = \cdots$ avec $C \in \R$ .

Posté par re : équations différentielles 13-02-20 à 16:10

Bonjour,

Plusieurs méthodes sont possibles. Une assez simple serait d'écrire P en toute généralité, à savoir $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ où a,b,c et d sont des réels quelconques, puis écrire l'équation xP'(x)-3P(x)=0 en ces termes. On se souviendra qu'un polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls.

Posté par re : équations différentielles 13-02-20 à 16:29

Merci beaucoup. La réponse de Jsvdb me paraît claire, et je vais maintenant réfléchir et travailler sur la réponse de WilliamM007.
Sincérement,

Valérie