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Équations différentielles
Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice :
On considère les équations differentielles (E): y''+y=0 et (E'): x⁴y''+y=0. Soit g une fonction deux fois dérivable sur R-{0} et f la fonction définie par .
1. Résoudre dans R l'équation (E).
2. Exprimer f'' en fonction de g''(1/x) et de x.
3. Montrer que g est une solution de (E') si et seulement si f est solution de (E).
4. En déduire les solutions de (E').
5. Soit g une fonction de (E') sur ]0;+∞[, déterminer une primitive de la fonction .
6. En déduire l'intégrale
[Mon début]
1) Les solutions de (E) sont de la forme y(x)=Acosx + Bsinx ; A et B sont des réels.
2) En dérivant f deux fois, je trouve
f"(x)=(1/x³)g"(1/x)
Soit g''(1/x)=x³f"(x).
3. J'ai supposé que f est solution de (E) et je veux montrer que g est solution de (E').
=>f''(x)+f(x)=0
<=> (1/x³)g''(1/x)+xg(1/x)=0 ... Mais je ne vois comment arriver au résultat ...
Bonjour,
Un bel exercice. Mais je m'interroge :
1) Les solutions de (E) sont de la forme y(x)=Acosx + Bsinx ; A et B sont des réels.
Ce résultat fait-il partie de ton cours ?
Si oui, on peut envisager la suite.
@lake : oui, je crois qu'en Terminale, ils apprennent à résoudre des équa diff du type :
avec
un réel donné.
Ce résultat fait-il partie de ton cours ?
Si oui, on peut envisager la suite.
Oui, c'est bien au programme
@lake : des équa diff du type :
y(x)=Acos(wt+∅) avec A un réel
3) On suppose travailler sur un intervalle qui ne contient pas
Il est temps de faire intervenir avec
et
Et en remplaçant donc g'' et g par leur expression dans la relation que vous venez d'écrire on trouve exactement f''(x)+f(x)=0 , Donc f est solution de (E).
je trouve
Et tu as totalement raison. J'ai cafouillé...
Et en remplaçant donc g'' et g par leur expression dans la relation que vous venez d'écrire on trouve exactement f''(x)+f(x)=0 , Donc f est solution de (E).
C'est ce que j'aurais voulu écrire. Encore une fois : désolé
, De rien...
4.
De la question 3) , on a:
f''(x)+f(x)=0 => x⁴g''(x)+g(x)=0
Ainsi f(x)=Acosx + Bsinx car f est solution de (E)
f(x)=xg(1/x) <=>
g(1/x)=(Acosx + Bsinx)/x
A, B des réels.
Mais comment avoir une expression de g(x) (?)
On travaille toujours sur un intervalle ne contenant pas
Mais comment avoir une expression de g(x) (?)
En posant
5) n'est pas difficile.
6) Il faut un peu réfléchir ...
Je fais une pause casse croute
A un peu plus tard ...
5)
5. Soit g une fonction de (E') sur ]0;+∞[
En conséquence, une primitive de la fonction
De mon côté, j'ai obtenu
A vérifier bien sûr.
Quand je dis "à vérifier bien sûr", rien ne t'empêche de dériver ...
Pour 6), je t'invite à réfléchir.
Si tu ne vois rien, je reviendrai demain matin.
Sur ce, bonne nuit
Mais avant de dormir, je voudrais revenir sur ton énoncé en 6). J'aurais mieux aimé :
(qui se calcule aussi par parties ce qui me fait douter).
Qu'en est-il ?
Bonjour,
J'obtiens aussi la même chose pour l'opposé de la dérivée de g.
En ce qui concerne l'intégrale A, je pense avoir omis le polynôme 1/x³; donc, c'est exactement ce que vous avez corrigé.
6) Pour calculer cette intégrale, je pose u(x)=1/x => u'(x)=-1/x² et v'(x)=(1/x²)sin(1/x) => v(x)=cos(1/x).
La primitive de la fonction à integrer est donc T(x)=(1/x)cos(1/x)-sin(1/x)
Il me reste donc à calculer T(2/π)-T(1/π). C'est bien cela?
Ce que je craignais un petit peu est arrivé. J'avais écrit ceci :
(qui se calcule aussi par parties ce qui me fait douter).
Et bien entendu, ton intégration par parties aboutit. Mais elle n'est pas du tout dans l'esprit de ton énoncé : aucun lien avec ce qui précède. Voilà comment je vois la chose :
D'après 4) et 5) :
- Les fonctions
- Une primitive de la la fonction
On revient à 6) :
je pose
du coup, une primitive de la fonction
du coup encore:
qui donne au final
De rien barka54
Au départ, j'avais écrit :
Un bel exercice.
où je n'avais pas encore regardé de près la question 6) (avec ton erreur d'énoncé).
Depuis, après rectification de l'énoncé, mon avis a bien changé : cette question 6) avec son "en déduire" est très artificielle. Elle veut à toute force qu'on utilise les résultats 4) et 5).
Comme tu l'as bien vu, une intégration par parties en vient très simplement à bout sans s'occuper de ce qui précède.
Bref, cet énoncé qui dans un premier temps m'avait séduit, me semble maintenant "pas terrible".
Bonne soirée à toi
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