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Équations différentielles d'ordre 2

Posté par
LaMoonwalkeuse
15-11-14 à 22:56

Bonjour! J'ai un exercice sur les équations différentielles, mais je bloque dur quelques questions car je débute encore un peu...
Merci à ceux qui pourront m'aider!

Voici le sujet:
On place en série un condensateur de capacité C, une bobine d'inductance L et une résistance R. La charge q(t) du condensateur vérifie alors l'équation: q''(t)+\frac{R}{L}q'(t)+\frac{1}{LC}q(t)=0.   (1)

1. On se place dans le cas où: R=2\sqrt{\frac{L}{C}}
  (a) Calculer la solution générale de l'équation différentielle (1).
  (b) En déduire l'expression de la solution vérifiant q(0)=q_m et q'(0)=0.
2. Reprendre la question 1 avec R>2\sqrt{\frac{L}{C}}
3. Reprendre la question 1 avec R<2\sqrt{\frac{L}{C}}

Ce que j'ai fait:
1.(a) J'ai calculer le discriminant de l'équation caractéristique de (1), c'est à dire : r^2+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0
=0 donc il existe une solution dans : r=-\frac{1}{CL}
Donc l'ensemble de solutions de (1) est de la forme \large q(t)=(\lambda t+\mu)e^{-\frac{t}{CL}}
  (b) q(0)=\mu=q_m
        \large q'(t)=(\lambda +\mu) e^{-\frac{t}{CL}}+(\lambda t+\mu)te^{-\frac{t}{CL}}
        q'(0)=\lambda +\mu=0 \lambda=-q_m
Au final, j'ai \large q(t)=(-q_m t+q_m)e^{-\frac{t}{CL}}

Est ce correct?

2.(a) De même, j'ai >0
Donc il existe deux solutions réelles:
\large a=-\frac{R}{2L}+\frac{1}{2L}\sqrt{R^2-4\frac{L}{C}} et \large b=-\frac{R}{2L}-\frac{1}{2L}\sqrt{R^2-4\frac{L}{C}}
Donc l'ensemble de solutions de (1) est de la forme q(t)=\lambda e^{at}+\mu e^{bt}
  (b) q(0)=\lambda + \mu =q_m
         q'(t)=\lambda te^{at}+\mu te^{bt}
         q'(0)=0

Là, je bloque...

3.(a) J'ai trouvé <0
Donc il existe deux solutions complexes:
r_1=-\frac{R}{2L}+i\frac{1}{2L}\sqrt{4\frac{L}{C}-R^2} et r_2=-\frac{R}{2L}-i\frac{1}{2L}\sqrt{4\frac{L}{C}-R^2}
On pose w=\frac{1}{2L}\sqrt{4\frac{L}{C}-R^2}
Donc l'ensemble de solutions de (1) est de la forme q(t)=e^{-\frac{R}{2L}}[\lambda cos(wt)+\mu sin(wt)]
  (b) \large q(0)=\lambda e^{-\frac{R}{2L}}=q_m
      \large q'(t)=e^{-\frac{R}{2L}}[\lambda cos(wt)+\mu sin(wt)]+e^{-\frac{R}{2L}}[-w\lambda sin(wt)+w\mu cos(wt)]
      \large q'(0)=\mu e^{-\frac{R}{2L}}+w\mu e^{-\frac{R}{2L}}

Et à nouveau, je bloque encore...

Merci à ceux qui pourront me corriger et m'aider!

Posté par
PerleDeBazil
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 07:51

Salut, pour ta première question, la solution du polynôme caractéristique ne serait-elle pas plutôt -\sqrt{\frac{1}{CL}} ?

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 10:10

Oui, mais c'est pareil non?

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 10:15

Ah! non, désolée, je me suis trompée en recopiant ce que j'avais fait, c'est plutôt -\frac{1}{\sqrt{CL}}

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 11:08

1)

On doit attiver à q(t) = (L.t + M).e^(-t/V(LC))

q(0) = M = qm

q(t) = (L.t + qm).e^(-t/V(LC))

q'(t) = L.e^(-t/V(LC)) - (1/V(LC)) * (L.t + qm) * e^(-t/V(LC))

q'(0) = L - qm/V(LC) = 0
L = qm/V(LC)

---> q(t) = qm.(1 + t/V(LC)).e^(-t/V(LC))
-----

Je n'ai pas regardé la suite.

Sauf distraction  

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 11:26

Ah oui! Je me suis aussi trompée dans la dérivée! Merci beaucoup!

Est ce que vous pouvez m'aider pour la suite s'il vous plait? C'est là que j'ai le plus de mal...

Posté par
PerleDeBazil
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 11:42

Tu t'es trompée dans ta dérivée au 2-b),
q'(t)=\lambda ae^{at}+\mu be^{bt}

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 11:45

3)

Il manque t dans la relation de q(t)

q(t) = e^(-R*\red t/(2L)) * (N.cos(wt) + M.sin(wt))

Avec w = ...

Et donc la dérivée est fausse et ...

Posté par
PerleDeBazil
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 11:47

Pour le 3), tu as oublié le t dans ton exponentielle :

q(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}(\lambda cos (\omega t) +\mu sin(\omega t))

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 12:13

Merci!

Du coup, j'ai pour la 2. (a):

q(0)=\lambda+\mu=0
q%27(t)=\lambda%20ae^{at}+\mu%20be^{bt}
q'(0)=\lambda a+\mu b=0

En faisant un système, je trouve:
\large \lambda=\frac{bq_m}{a+b} et \large \mu=\frac{aq_m}{a+b}

Donc \large q(t)=\frac{bq_m}{a+b}%20e^{at}+\frac{aq_m}{a+b}%20e^{bt}

Et pour la 3):
(a) q(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}(\lambda%20cos%20(\omega%20t)%20+\mu%20sin(\omega%20t))

(b) q(0)=\lambda=q_m
     q'(t)=-\frac{R}{2L}e^{-\frac{R}{2L}t}(\lambda%20cos%20(\omega%20t)%20+\mu%20sin(\omega%20t))+e^{-\frac{R}{2L}t}[-w\lambda%20sin(wt)+w\mu%20cos(wt)]
     q'(0)=-\lambda\frac{R}{2L}+\omega\mu=0

De même, à l'aide d'un système, j'ai:
\lambda=q_m et \mu=\frac{Rq_m}{2L\omega}

Donc q(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}(q_m%20cos%20(\omega%20t)%20+\frac{Rq_m}{2L\omega}%20sin(\omega%20t))

Est-ce correct? Et est ce que je peux laisser les a, b et \omega sous cette forme ou faut t-il que je les remplace par leur valeur selon vous?

En tout cas merci

Posté par
PerleDeBazil
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 12:23

Oui, c'est bon, je pense que tu peux les laisser, si tu précises bien quelque part à quoi ils correspondent

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Équations différentielles d'ordre 2 16-11-14 à 13:13

Merci beaucoup pour votre aide!!



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