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équations intérêts simples

Posté par
mborts
01-12-10 à 14:12

Bonjour,
Je suis en rattrapage passerelle en M1 dans une ESC et le professeur de finance nous a donné des exos sur les intérêts simples seulement il y a plusieurs inconnus et je ne vois pas comment résoudre le prolème. En voici le contenu:

Un capital placé à 9% pendant une certaine durée a acquis une valeur de  17400 E. Placé à 10% pendant 1 an de moins, ce même capital aurait fourni un intérêt de 4800 E. Calculer ce capital et la première durée de placement?

... Voila, en vous remerciant par avance.
Cdlt,
Marie

Posté par
jacqlouis
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 14:38

    Bonjour Marie .  S'il s'agit bien d'intérêts simples, la formule est ...  simple, c'est la suivante :
      Capital *( 1 + taux) n  =  Capital + intérêts

Tu aurais donc :    C*( 1 + 0,09) n   - C  =   17.400
           et  :        C*( 1 + 0,10) n-1 - C =    4.800

Mais je trouve la différence des intérêts très grande ?...

Posté par
gus
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 15:35

Bonjour,

Un intérêt simple veut dire en gros que les intérêts ne produisent pas d'intérêts.
l'intérêt se calcule donc sur le capital placé en début de période.

prenons un capital de 1000 € et placons le à 10 % l'an (intérêts simples.)
a la fin de la 1ère année le capital C de 1000 € aura produit 100 € d'intérêts. => 1000 X 10/100 ou 1000 X 0,1 => C X 0,1.

Capital total a la fin de l'année : 1 100 €.
a la fin de la 2ème année le capital aura produit également 100 € d'intérêts.
Capital total a la fin de la 2ème année : 1 100 € + 100 € = 1 200 €.
au début de la 1ère année le capial est de 1000 € a la fin de la 2ème il est de 1 200 €.
on a donc : C + C X 0,1 X 2 2 est ici le nombre d'annnées écoulées que l'on note généralement n.
=> C  + 0,1 X C X n =>  C + 0,1Cn  (C X 0,1 représente les intérêts.)
ici C =1000 et n=2.

Retour au problème :
appelons C le capital initial et n la durée de placement en années.

                         0,09Cn + C = 17400 € (E1)
0,1C X (n-1) = 4800 € => 0,1Cn - 0,1C = 4800 € (E2)

multiplions la 2ème équation (E2) par 0,9 ( X 0,9) afin d'obtenir "la même quantité de Cn" dans les 2 équations.
c'est la méthode combinaison linéaire.

0,09Cn + C = 17 400 € (E1)
0,09Cn - 0,09C = 4 320 € (E2) (0,1Cn X 0,9 = 0,09Cn  -0,1C X 0,9 = -0,09C et 4800 X 0,9 = 4 320 €)

0,09Cn + C - (0,09Cn -0,09C) = 17 400 - 4 320 (E1) - (E2) membre à membre "afin d'éliminer les Cn".On peut aussi ajouter si ça nous arrange.

0,09Cn + C - 0,09Cn + 0,09C = 13 080 €.

1,09C = 13 080.

On trouve donc facilement C ensuite.
en utilisant l'équation (E2) 0,1C X (n-1) = 4 800 on trouve facilement n.
n-1 = 4800 / 0,1 X C

Posté par
mborts
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 17:39

Merci beaucoup à vous deux pour la résolution de cet exo, j'en aurais surement d'autres à vous poser!
En tout cas merci encore.
Cdlt,
Marie

Posté par
mborts
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 18:31

Encore un exercice auquel je ne comprends pas grand chose:

Un prêt de 300 000 euros est consenti à un taux t%. Au bout de 4 mois, l'emprunteur  rembourse à son prêteur 120 000 euros de capital, somme que le prêteur replace immédiatement à 9%. Au bout d'un an ( à partir de l'opération initiale), le prêteur se voit verser l'ensemble du capital et des intérêts et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen égal à (t%-0,8%).
a) Calculez t
b) De quelle somme totale dispose le prêteur au bout d'un an?


Est ce que cette résolution est bonne ?
300 000 X t X 4/12 + 120 000 X 0,09 X 6/12 = 300 000 X (t%-0,8%) X 1

Merci

Posté par
niparg
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 18:47

bonsoir gus
je ne suis pas d'accord avec ta présentation de la méthode de l'intérêt simple(qui en passant est une absurdité mathématique)
dans cette méthode( qui ne doit être utilisée que pour des placements de durée inférieure à l'année voir deux si on est pas trop regardant!) l'intérêt est comptabilisé une seule fois, en général en fin de placement:en aucun cas on ne peut fractionner la durée du placement pour y calculer les intérêts afférents
L'intérêt I produit par un capital C placé à intérêt simple pendant une durée de
n périodes avec un taux périodique i est par définition égal à I=Cni, la valeur acquise est égale à Cn=C+I=C +Cni=C(1+ni)
rem:la période est soit  le jour, le mois,...
ainsi dans l'exercice on a donc immédiatement les deux égalités que tu donnes, à savoir:
17400=C(1+n*0.09) et 4800=C(n-1)0.10
ce qui permet de calculer C (C=12000)et n(n=5???)

Posté par
niparg
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 21:18

bonjour mborts
tu oublies l'intérêt généré par les 180000 placés durant 8 mois, à savoir 180000*(8/12)*(t/100),  d'où 300000(t/100)(4/12)+180000*(8/12)*(t/100)+120000(8/12)(9/100)=300000(t-8)/100

Posté par
gus
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 21:45


Bonsoir,

pour le 1er exo on trouve bien C = 12000 € et n = 5 ans.
(en tout cas ces valeurs correspondent dans les 2 équations.)
pour la présentation, je ne sais pas si c'est vraiment juste,mais on retrouve quel que soit le moment ou les intérêts sont versés la formule C(n) = C(1+in) ou Cn = C + C x i x n n : durée du placement en mois , en jour ou en années.

si on place un capital C de 1000 € à 10 % l'an pendant 2,5 ans
on touche au bout de 2ans : 1000 + 100 + 100 => 1000 + 1000 X 0,1 X 2   et pas 1000 X 0,1 X 2,5. normal car la date de versement des intérêts est en fin d'année.
n dans ce cas est le nombre d'échéances de versements des intérêts.
  
pour le 2nd une petite erreur sur la durée :
8/12 a la place de 6/12 4mois :fin avril pour les 300 000 et 8 mois pour les 120 000 (12 mois(1an) - 4 mois)
il reste 8 mois :mai...décembre.donc 8/12.
300 000 X t X 4/12 + 120 000 X 0,09 X 8/12 = 300 000 X (t%-0,8%)
reste à trouver t.
(normalement dans un autre topic.)

Posté par
gus
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 21:57


oui, il manque bien 180 000 X t/100 X 8/12. ( pret(300 000  - remboursement 120 000 = 180 000 )

Posté par
niparg
re : équations intérêts simples 01-12-10 à 22:07

gus si vous placez 1000€ pendant 2.5ans au taux annuel de 10% il faut bien expliquez la méthode de calcul des intérêts que vous adoptez
a) intèrêt simple:1000(1+0.10*2.5)(comme 2.5>1 je refuse cette façon de faire)
b) intérêts composés:1000(1.10)2.5(celle que j'adopte )
c) capitalisation mixte: pendant 2 ans intérêts composés puis intérêt simple pour la 1/2 année restante:1000(1.10)2(1+0.10*0.5)



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