F(x) =  X^n + X^2 + X – 1.
F'(x) = n.X^(n-1)+2X+1.
On suppose que n > 0.
Pour X poxitif F'(X) est positif donc F(X) est croissante.
F(0) = -1
Lorsque X varie de 0 à +infini, F(X) croit de -1 à +infini.
Donc F(X) passe par 0 entre x=0 et x=infini et par conséquent :
F(x) =  X^n + X^2 + X – 1 = 0  a donc une solution positive.
.
Pour n=1, la solution positive est X=racine(2) -1
pour n=2, la solution positive est X=1/2
Pour n=3 et n=4, les solutions de l'équation X^n+X^2+X+1=0 sont données
par des formules connues mais très compliquées. On peut aussi les
obtenir par calcul numérique :
si n=3 : X=0,543674..
si n=4 : X=0,569782..
pour n > 4, les solutions ne sont pas données par des formules mais sont
obtenues par calcul numérique.
si n=5 : X=0,586438..
si n=6 : X=0,597374..
etc.
N'y a-til pas une erreur de signe dans l'énoncé de la question ?

tu n'as pas montrer qu'ilya une selle solution positive
.jem'exuse ;jje ne t'ai pas dis que n est naturel.
puis si tu trouve la reponse ;montre que cette selle est un trme general
d'une suite geometrique.
merci.