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equidistance point et droite dans R3
Bonjour,
je suis en prépa scientifique et j'ai un exo pour préparer mes oraux. Le voici :
Soit D la droite d'équation (x=y et z=h) et A le point de coordonnées (1,-1,h).
On nous demande de determiner l'ensemble des points equidistants de D et de A.
Pour cela j'ai pris un point quelconque de R3 et j'ai essayé de trouver une condition qu'il doit vérifier pour avoir l'equidistance. Donc j'ai pris Xprime(xprime,yprime,zprime) ce point de R3.
J'ai ensuite exprimer qu'on doit avoir norme de AXprime = norme de YXprime avec Y un point quelconque de la doite D de coordonnées Y(x,y,h), sachant que y=x.
Le problème c'est que je tombe sur une équation qui ne donne rien du tout : on en reconnait pas une equation evidente ?!
J'ai aussi pensé à prendre un point quelconque de la droite D et exprimer le vecteur AY avec Y le point quelconque choisi puis de déterminer le point qui réalise l'equidistance et qui dépend de x y et h mais je sais pas si c'est aussi simple.
Merci de de votre aide.
salut
soit M(x, y, z) un point de l'espace :
1/ d = distance de M à D
2/ e = distance de M à A
3/ résoudre l'équation d = e
...
Bonjour,
j'ai mis ces primes car l'equation donnée de D utilise déjà x y et z donc je ne peux pas appeler un point quelconque de R3 x y et z sinon cela voudrait dire qu'il est sur la droite.
Je trouve après passage au carré :
(x-1)²+(y'+1)²+(z'-h)²=(x'-x)²+(y'-y)²+(z'-h)²
Bonjour Carpediem,
c'est exactement le même raisonnement que j'ai utilisé vu que j'ai calculé les normes puis j'ai essayé de résoudre l'equation pour trouver quelque chose (une figure géométrique que les points qui réalisent l'équidistance vérifient).
L'utilisation des "primes" vient du fait que tu t'es trompé en calculant le carré de la distance à la droite. Revois ce calcul : les x et y que tu fais figurer en plus des x' et y' n'ont aucun sens.
Bonjour Recomic35,
je vois finalement ce que vous voulez dire. Par contre, calculer la distance entre le point X(x,y,z) a la droite dans l'espace va compliquer l'equation non ? Comment feriez vous pour calculer cette distance ?
salut,
tu peux peut etre sans calcul preciser quel est l'ensemble des points equidistants de A et de D dans le plan d'equation z=h ?
Bonjour alb12,
j'y ai effectivement pensé mais je ne vais pas trouver la même chose que si je raisonne sur R3.
J'ai donc calculé la distance du point X(x,y,z) à la droite D dans R3 grâce à la formule :
j'ai pris u(1,1,0) le vecteur directeur de D et B(0,0,h) un point de D
distance de X à D = racine ((norme de BX)² - (BX scalaire u)²/(norme de u)²)
et ensuite j'ai résolue (norme AX) = d
ce qui me donne une équation mais qui ne ressemble à aucune figure géométrique connue.
Ensuite, j'ai trouvé une autre formule pour calculer la distance entre un point et une droite dans R3 qui est
d= norme (BX VECTORIEL u) / norme de u
mais je ne retrouve pas le même résultat ?!
merci de votre aide !
alb12,
avec la première formule je trouve :
x²+y²+2xy+4(x-y)=0
et avec la deuxième formule je trouve une équation légèrement semblable :
(x-1)²+(y-1)²=((x-y)²/2)
alb12,
en fait je viens de me rendre compte que c'est la même équation. désolé.
Par contre, je ne reconnait pas une équation caractéristique d'une figure géométrique. Et pourquoi celle-ci ne serait que sur R2 ?!
alb12,
d'après mon intuition ça devrait donner une sorte de bol non ? vu que si on raisonne sur R2, ça donne une sorte de parabole non ?
alb12,
pourtant l'équation que je trouve n'est pas celle d'une parabole !
De plus z n'est pas fixe ! la droite est dans un plan avec z fixe d'accord mais ça ne veut pas dire que forcément l'ensemble des points equidistants sera dans le plan avec z=h non ?
On peut avoir des points équidistants au point A et à la droite qui ne situent pas dans le plan z=h non ?!
1/ dans le plan d'equation z=h l'ensemble des points equidistants de A et de D est une parabole. Faut-il preciser cette parabole ?
2/ dans tout plan parallele au plan (xOy) l'equation est la meme
alb12,
comment est-ce que ça peut etre la même équation vu qu'on a changé le z et qu'on n'est plus a z=h ? je ne comprends pas ! du coup si sur tous les plans parallèles a (xOy) c'est une parabole, alors ça forme bien une sorte de bol dans R3 non ??
oui il faut préciser l'equation de la parabole mais comment la trouver ? Ce que j'ai fais est faux ???
ne figure pas dans l'équation : la surface est un cylindre de génératrices parallèle à l'axe des
, qui s'appuie sur une courbe dans le plan
. Cette courbe est bien une parabole, tu peux voir le changement de variable qui rend ça évident en écrivant l'équation trouvée (enfin, en corrigeant) sous la forme
Recomic35,
par conséquent l'équation trouvée est bien correcte n'est-ce-pas ?
Mais je ne vois toujours pas comment ça peut former un cylindre dans R3 selon l'axe des z, alors que cylindre est basé sur une parabole dans le plan (xOy) ? C'est possible ça ?
Merci de votre aide.
La géométrie n'étant pas le domaine le plus étudié en profondeur en prépa PC.
Je trouve des erreurs dans chacune des équations écrites le 04-06-16 à 15:12.
Quand je dis "cylindre", ce n'est évidemment pas au sens "cylindre circulaire droit". Voir 
Recomic35,
vous avez raison je les ai mal écrites j'ai oublié le +2 mais ne vous inquiétez pas je trouve la même équation que la vôtre !!
Par contre pour le cylindre je vais aller voir le lien que vous avez mis !
Merci en tout cas de votre aide.
les traces de l'ensemble sur des plans horizontaux (avec le logiciel Xcas)
Pour faire des rotations de la figure telecharger Xcas 
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