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Equivalent de fonction circulaire

Posté par
Croute 09-10-19 à 21:41

Bonsoir,

Ça va faire depuis dimanche soir que je bloque sur un exercice qui consiste à trouver l'équivalent de certaine fonction circulaire en certaine valeur.

Je découvre ce chapitre donc j'ai encore un peu du mal.

Est-il donc possible d'obtenir de l'aide ou une méthode de résolution pour trouver l'équivalent de :

a) cotan(x) au voisinage de Pi

b) cos (x) au voisinage de Pi/2

c) sin(x) au voisinage de 2Pi

Merci de votre réponse !

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:00

Bonsoir,

Il me semble qu'il faut utiliser les développements limités

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:12

Le problème c'est que je n'ai jamais vu ce qu'est le développement limité en cours, donc j'aimerai bien trouver un autre moyen de le résoudre.

Merci.

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:17

Peux-tu me donner la définition de deux fonctions équivalentes en a\in \R, s'il te plait?

Posté par
larrechre : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:20

Bonsoir,

Je suppose quand même que tu connais les équivalents des fonctions sin et tan au voisinage de 0.

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:22

Oui celui de sin(x) au voisinage de 0 est x et celui de tan(x) est aussi x.

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:23

Et le quotient de 2 fonctions équivalentes en a appartenant à R doit être égal à 1.

Posté par
larrechre : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:30

Bon eh bien il faut te ramener au voisinage de 0 en faisant de petits changements de variable.

Par exemple pour la première on écrit x=\pi+u Quand x \to \pi, u\to 0

cotan(x)=cotan(\pi+u)=...

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:42

Du coup ça donne pour cotan(+u) = 1/(+u) au voisinage de 0 ?

Posté par
larrechre : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 22:54

Non cotan(+u)=cotan(u) qui est équivalent à 1/u au voisinage de 0.

Donc cotan(x) est équivalent à 1/(x-) quand x

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:12

je développe ce qu'à fait larrech :

$cotan$(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=\dfrac{\cos(x-\pi+\pi)}{\sin(x-\pi+\pi)}=\dfrac{\cos(x-\pi)\cos\pi-\sin(x-\pi)\sin(\pi)}{\sin(x-\pi)\cos \pi+\cos(x-\pi)\sin\pi}=\dfrac{\cos(x-\pi)\cos\pi}{\sin(x-\pi)\cos \pi}=\dfrac{\cos(x-\pi)}{\sin(x-\pi)}\underset{\pi}{\sim}\dfrac{1}{\pi-x}

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:19

il doit y avoir une erreur de signe dans ce que j'ai fait, je te laisse chercher....

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:24

correction :

$cotan$(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=\dfrac{\cos(x-\pi+\pi)}{\sin(x-\pi+\pi)}=\dfrac{\cos(x-\pi)\cos\pi-\sin(x-\pi)\sin(\pi)}{\sin(x-\pi)\cos \pi+\cos(x-\pi)\sin\pi}=\dfrac{\cos(x-\pi)\cos\pi}{\sin(x-\pi)\cos \pi}=\dfrac{\cos(x-\pi)}{\sin(x-\pi)}\underset{\pi}{\sim}\red\dfrac{1}{x-\pi}

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:25

Je pense avoir compris.

Donc si je prend par exemple le c) où l'on cherche son équivalent en 2, je fais :

sin(x) équivalent à x au voisinage de 2

Puis, je pose x = u - 2

Je cherche ensuite sa limite en 0 qui donne lim u - 2 en 0 = 0

Ce qui donne sin(u - 2) équivalent à u - 2 au voisinage de 2.

Est-ce que c'est bon ?

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:37

Merci mousse42 pour le développement, j'étais justement en train de faire le développement de mon côté mais tu as été beaucoup plus rapide

Posté par
larrechre : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:40

Non, il faut poser x=u+2 pour que quand x2, u0

Comme sin est 2-périodique sin(u+2)=sinu qui est équivalent à u.

Donc sinx est équivalent à x-2 quan x2

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 09-10-19 à 23:46

non, je ne pense pas que tu aies compris, tu utilises une méthode sans la comprendre  et c'est très dangereux, il faut oublier les méthodes et réfléchir...

\sin(x)=\sin(\underbrace{x-2\pi}_{=u}+2\pi)=\cdots

Posté par
Croutere : Equivalent de fonction circulaire 10-10-19 à 00:03

Ok, donc si je refais le a) sa donne :

tan(x) équivalent à x au voisinage de 0.

On sait que cotan(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x).

Donc cotan(x) est équivalent à 1/x au voisinage de 0.

Puis on pose x = u + de sorte à ce que lorsque u tend vers 0, x tend vers , car on le veut au nouveau voisinage qui est .

Ensuite, nous savons que la fonction tangente est -périodique.

Ça donne donc cotan(u+) = cotan(u) (car -périodique) équivalent à 1/u.

Ce qui donne ensuite cotan(x) équivalent à 1/x- (car u = x-) au voisinage de 2 en effectuant le changement de variable.

Est-ce que c'est correct ?

Posté par
lafol Moderateurre : Equivalent de fonction circulaire 10-10-19 à 00:18

Bonsoir
c'est d'un lourd pour arriver à cos (a + pi) = - cos(a) et sin (a+pi) = -sin(a) ! y'en a qui n'ont jamais entendu parler d'angles associés, ici ? et jamais vu de cercle trigo ?

Posté par
mousse42re : Equivalent de fonction circulaire 10-10-19 à 00:24

tu as raison lafol , il y a un truc qui ne tourne pas rond chez moi

Posté par
lafol Moderateurre : Equivalent de fonction circulaire 10-10-19 à 10:29

Ça doit être à force de lire ramanujan ! Il déteint, l'animal


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