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Niveau Reprise d'études
Espace métrique
Posté par Fractal
Bonjour,
Je regarde l'exercice suivant :
Soit un espace métrique et
.
Montrer que est ouvert si et seulement si pour toute suite
de
qui converge vers un élément de
il existe
tel que
Bon, j'ai donc supposé que est un ouvert, que la suite converge vers un élément
, et donc qu'il existe un
tel que
, donc
Donc
Je ne sais pas si ce que j'ai fait est de la plus grande rigueur, mais ma difficulté, c'est de faire la réciproque (dans l'autre sens).
Là je bloque.
Fractal
pour ce que tu as fait c'est correct
pour la réciproque c'est bien la contraposée qui me semble appropriée...
Si O n'est pas ouvert, il existe un élément L de O pour lequel aucune des boules centrées sur L n'est incluse dans O
En prenant les boules de rayon 1/n, à chaque fois tu construis un élément xn qui est dans cette boule sans être dans O ... et donc une suite qui converge vers L sans qu'aucun élément n'y soit ...
à rédiger évidemment !
Je vous remercie, c'est cette phrase là que je ne comprends pas :
Citation :
il existe un élément L de O pour lequel aucune des boules centrées sur L n'est incluse dans O
il existe un élément L de O pour lequel aucune des boules centrées sur L n'est incluse dans O
Enfin, en terme d'expression, je la comprends bien sûr, mais en terme de logique dans la démonstration, je ne la comprends pas. En fait je ne vois pas "le truc" : je ne vois pas un élément L appartenant à O, ou aucune boule centrée en L ne puisse y appartenir. La première chose qui me vient à l'esprit, c'est de prendre un rayon tellement petit que la boule sera dans 0 (je le vois comme ça
). Ou alors c'est que le L est sur la frontière de O, mais dans ce cas on a affaire à un Fermé non ? Et comme un "non Ouvert" n'est pas forcément un Fermé, ben du coup ça me fait des trous dans la tête ...
Si vous pouviez m'éclairer là-dessus.
Ah oui, une autre question, comment trouves-tu "comme ça" cette question de rayon=1/n, l'expérience ?
Te remerciant.
Bonjour
Citation :
Ou alors c'est que le L est sur la frontière de O, mais dans ce cas on a affaire à un Fermé non ?
Ou alors c'est que le L est sur la frontière de O, mais dans ce cas on a affaire à un Fermé non ?
Non. on a un point de la frontière qui est dans O. on ne sait rien du reste de la frontière. Exemple dans IR : O=]-L;L].
@lafol
Citation :
Non. on a un point de la frontière qui est dans O. on ne sait rien du reste de la frontière. Exemple dans IR : O=]-L;L].
Non. on a un point de la frontière qui est dans O. on ne sait rien du reste de la frontière. Exemple dans IR : O=]-L;L].
Ok, donc on ne sait rien de la frontière, dont acte, mais ce point en question tel que je le disais ci-dessus
Citation :
Ou alors c'est que le L est sur la frontière de O
est bien sur la frontière de O pour remplir les conditions requises , à savoir la suivante : Ou alors c'est que le L est sur la frontière de O
Citation :
un élément L appartenant à O, ou aucune boule centrée en L ne puisse y appartenir.
un élément L appartenant à O, ou aucune boule centrée en L ne puisse y appartenir.
Oui ? Non ?
bonjour mousse42
je te laisse continuer à lui expliquer la démo... je ne peux pas rester.
il a un problème avec la traduction de "A n'est pas ouvert" !
sinon, je pense lui avoir donné la feuille de route de la démo...
Bonjour matheuxmatou, merci je vais essayer car je ne suis loin d'être un expert, mais cela me permet de travailler mon cours. Bon week end 
Fractal
D'après ce que j'ai lu, il me semble tu utilises un "savoir passé" qui te bloque dans ton étude.
Il faut appliquer les définitions et rien d'autre. Tu auras certainement des surprises.
Prends par exemple
et
est un ouvert de
et