Voici mon exercice si quelqun peut m'aider c'est sympa!
On pose F={(x,y,z) de R^3 / x-2y+3z=0}
G={(x,y,z) de R^3 /x+y-z=0 et 2x-y+z=0}
On a F+G en somme directe.
Expliciter la projection p de R^3 sur F parallelement à G.
Voila merci bcp d'avance!
On pose F={(x,y,z) de R^3 / x-2y+3z=0}
G={(x,y,z) de R^3 /x+y-z=0 et 2x-y+z=0}
On a F+G en somme directe.
Expliciter la projection p de R^3 sur F parallelement à G.
nous sommes en vectoriel donc d'abord F est un plan vectoriel et G est une droite vectorielle car intersecton de deux plans vectoriels qui n'ont pas la meme direction
donc F intersection G={0} donc F et G sont en somme directe
de plus ils sont supplementaires
car dim (F+G)=dimF+dimG-dimFinterG=2+1-0=3
et F+G est un sous espace vectoriel de R^3 (car la somme de 2 ss esp vect est un s espace vectoriel)
donc F+G inclus ds R^3 et dim(F+G)=dim R^3 donc F+G=R^3
revenons a l'exercice
on F= {x/ p(x)=x}=Ker(p-Id)
et G={x / p(x)=0}=Kerp
donc
Ker(p-Id)={(x,y,z) de / x-2y+3z=0}
Kerp={(x,y,z) de /x+y-z=0 et 2x-y+z=0}
soit A la matrice de p dans la base canonique
soit X(x,y,z) XKerpAX=0
donc on peut affirmer que A est de la forme
(1 1 -1 )
A (2 -1 1 )
(a b c )
il reste a utiliser la seconde information Ker(p-Id)={(x,y,z) de R^3 / x-2y+3z=0}
soit X(x,y,z) XKer(p-Id)(A-Id)X=0
on obtient a=1 b=-2 et c-1 =3 soit c=4
donc (1 1 -1 )
A (2 -1 1 )
(1 -2 4 )
Bonjour tout le monde!
Merci pour vos conseils!
En fait j'ai finalement réussi sans utiliser la solution proposée(merci encore) parce que nous venons juste de commencer les matrices!
J'ai simplement utilisé la supplémentarité et utilisé un systeme linéaire!
Voila merci beaucoup!
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