Bonjour, et voici la question qui me turlupine :

On appelle C cet ensemble.

1. Démontrez que toute matrice de C s'écrit de manière unique sous la forme aI + bJ + cK, où I désigne la matrice unité de M3R et J, K des matrices de M3R indépendantes de a, b et c.

>>facile



2. En déduire que C est un sous espace vectoriel de M3R dont on précisera la dimension.

La dimension est elle 3?, car combinaison linéaire de 3 éléments?

Comme C  est engendré par 3 éléments tu as que sa dimension est =< 3 , il f

(ereur de touche) : il faut encore que tu prouves que tes 3 élements sont libres.

Oui, en prouvant que :



Facile

pardon

Bon, continuons :

3. Calculez J², JK, KJ, K² et montrez qu'elles appartiennent à C.

Résultats : J² = K.
et KJ=JK= J+I.
K² = J+K.


4. Montrez que J³= J+I

>Facile d'après ce qui précède.

5. En déduire que J et K sont inversibles :

Puis déterminer J^-1 et K^-1. et prouvez qu'elles appartiennent à C

bonjour
si tu as J³=J+I=> (J²-I)J=J(J²-I)=I donc J²-I est l'inverse de J

J est inversible donc J² est inversible  tu as trouvé(je n'ai pas vérifié) K=J² donc K est inversible

J-J²+I doit être l'inverse de K ?
Car J² (J-J^-1) = I
Isn't it?

oui ça a l'air d'être ça
on vérifie en calculant autrement K^-1=(J^-1)²=(J²-I)²=J⁴-2J²+I=J(J+I)-2J²+I=J-J²+I
comme je suis montée en marche dans cet exo je n'avais pas vu la relation KJ=JK=J+I d'où l'on déduit
J(K-I)=I=(K-I)J donc J^-1=K-I=J²-I