Bonjour à tous, je bloque sur la première question du DM, si quelqu'un à une idée...
Pour n on définit l'ensemble
n
En={fC| (k parmi n).f(k)=0}.
k=0
Avec les notations suivantes :
f0=f, pour k1 f(k) désigne la dérivée kième de f et 0 la fonction nulle.
1. Montrer que pour tout n, En est un espace vectoriel.
Je pense qu'il faut le faire par récurrence, mais je ne vois pas trop comment faire...
Merci d'avance.
bonjour,
tu peux montrer que Enest un sous espace
pour tout n
En est
non vide(la foncion 0 est élément de En,
Coo
il reste à vérifier que f et g éléments de En,(a,b)R² h=af+bgEn
Bonjour
Bonjour Veleda
Ca marche parce que , comme tu as dû l'apprendre, la dérivation est une opération linéaire, de même que la "dérivation k fois".
C'est cette propriété qui te permettra de démontrer ce que Veleda te propose de démontrer.
Merci beaucoup, il n'y avait donc pas besoin de récurrence....
On me demande un peu plus loin (après avoir montré que fEn g(n)=0 avec g(x) =ex.f(x) pour tout x appartenant à R et n >0 fixé) quelles sont toutes les fonctions indéfiniment dérivables sur R dont la dérivée nième est la fonction nulle ?
Je dirais les fonctions polynomiales de degré inf ou égal à n...
Est-ce juste, et comment le montrer ?
re-merci d'avance
Bonjour
Oui, ce sont bien les fonctions polynôme de degré inférieur à n, mais c'est immédiat par récurrence sur n, donc je ne vois pas trop le rapport avec ton problème!
Je pense que cete question est en rapport avec la suivante:
Pour k entier tel que 0k < n, on désige par fk la fonction définie sur R par x, fk(x)=xk.e-x.
MOntrer que la famille(f0,f1,..,fn-1) est une base de En
rebonjour,
si j'ai bien compris le texte tu as démontré que fEn<=>(f(x)=g(x)e-xet g(n)=0)
donc f est élément de En<=> f(x)=g(x)e-x avec g(x)=
donc f(x) s'ecrit=
on en déduit que la famille est génératrice de En
il reste à vérifier qu'elle est libre
comment t'as fait pour montrer que car c'est nécessaire pour la suite
f appartient à En g(n)=0 avec g(x) =ex.f(x)
je ne suis pas sur mais voila ce que j'ai fait :
n
g(n)(x)=0 (k parmi n).f(k).(ex)(n-k) =0
k=0
n
exp(x).(k parmi n).f(k)
k=0
à partir de là tu devrais pouvoir montrer ce qui est demandé
oui c'est cela et
est la dérivée nième de
(formule de leibnitz)
déslée,je pensais que tu avais fait cette question
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