Bonsoir

C'est la définition même d'une somme directe.

oui c'est d'autant plus dure le démontrer du coup parce que je sais plus quoi dire

Bonjour
ça dépend : la définition que tu as eue est peut être : F et G sont supplémentaires dans E ssi pour tout x de E, il existe un unique couple (f,g) de FxG tel que x = f + g ?

Bonsoir lafol

Dans ce cas il y a juste à s'attarder sur l'unicité :

On suppose que x = f + g = f' + g' <=> (f-f') = (g'-g)

Puisque ce sont des espaces vectoriels on a f-f' dans F et g'-g dans G, et puisque l'intersection est vide on a f-f' = g'-g = 0 donc f = f' et g = g' et réciproquement.

non moi j'ai: F et G de E sont supplémentaire si et si seulement si F inter G engendre E

Pour le sens intersection vide ==> unicité, OK
pour la réciproque, je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire ?

mais à mon avis il serait plus judicieux d'utiliser une autre définition comme celle que tu as proposé par exemple...

F inter G ? tu veux dire F union G ?

oui désolé

Mais cette définition ne fait pas apparaître le côté "directe" de la somme....
avec ta définition, E et n'importe lequel de ses ssev seraient supplémentaires ....

Oui désolé j'ai pas développé parce que l'autre sens est encore plus simple :

si x appartient à l'intersection de F et G, on écrit : x = x + 0 = 0 + x et par unicité de la décomposition il vient x = 0.

Très bien, kévin

que signifie unicité de la décomposition?

unicité de la décomposition signifie que si on a S = x + y = x' + y', c'est que x = x' et y = y' : on ne peut pas avoir deux décompositions différentes de S